Ostrogradská nestabilita - Ostrogradsky instability - Wikipedia

V aplikované matematice je Ostrogradská nestabilita je důsledkem věty o Michail Ostrogradsky v klasická mechanika podle kterého nedegenerovaný Lagrangian v závislosti na časových derivátech vyšších než první odpovídá lineárně nestabilnímu Hamiltonian spojené s Lagrangeovým prostřednictvím a Legendární transformace. Ostrogradská nestabilita byla navržena jako vysvětlení, proč se zdá, že žádné diferenciální rovnice vyššího řádu než dvě nepopisují fyzikální jevy.^[1]

Nástin důkazu ^[2]

Hlavní body důkazu lze vyjasnit zvážením jednorozměrného systému s Lagrangeovým ${ displaystyle L (q, { dot {q}}, { ddot {q}})}$. The Euler-Lagrangeova rovnice je

${ displaystyle { frac { částečné L} { částečné q}} - { frac {d} {dt}} { frac { částečné L} { částečné { tečka {q}}}} + { frac {d ^ {2}} {dt ^ {2}}} { frac { částečné L} { částečné { ddot {q}}}} = 0.}$

Nedegenerace ${ displaystyle L}$ znamená, že kanonické souřadnice lze vyjádřit pomocí derivátů ${ displaystyle {q}}$ a naopak. Tím pádem, ${ displaystyle částečné L / částečné { ddot {q}}}$ je funkce ${ displaystyle { ddot {q}}}$ (pokud tomu tak nebylo, Jacobian ${ displaystyle det [ částečné ^ {2} L / ( částečné {{ ddot {q}} _ {i}} , částečné { ddot {q}} _ {j})]}$ zmizí, což by znamenalo, že ${ displaystyle L}$ je zdegenerovaný), což znamená, že můžeme psát ${ displaystyle q ^ {(4)} = F (q, { dot {q}}, { ddot {q}}, q ^ {(3)})}$ nebo obrácením, ${ displaystyle q = G (t, q_ {0}, { dot {q}} _ {0}, { ddot {q}} _ {0}, q_ {0} ^ {(3)})}$. Od vývoje ${ displaystyle q}$ záleží na čtyřech počátečních parametrech, to znamená, že existují čtyři kanonické souřadnice. Můžeme je zapsat jako

${ displaystyle Q_ {1}: = q}$

${ displaystyle Q_ {2}: = { dot {q}}}$

a použitím definice konjugované hybnosti,

${ displaystyle P_ {1}: = { frac { částečné L} { částečné { dot {q}}}} - { frac {d} {dt}} { frac { částečné L} { částečný { ddot {q}}}}}$

${ displaystyle P_ {2}: = { frac { částečné L} { částečné { ddot {q}}}}}$

Výše uvedených výsledků lze dosáhnout následujícím způsobem. Nejprve přepíšeme Lagrangeovu do „obyčejné“ formy zavedením Lagrangeova multiplikátoru jako nové dynamické proměnné ${ displaystyle lambda}$

${ displaystyle L (q, { dot {q}}, { ddot {q}}) až { tilde {L}} = L (Q_ {1}, { dot {Q_ {1}}} , { dot {Q_ {2}}}) - lambda (Q_ {2} - { dot {Q_ {1}}})}$,

z nichž jsou Euler-Lagrangeovy rovnice pro ${ displaystyle Q_ {1}, Q_ {2}, lambda}$ číst

${ displaystyle Q_ {1}: { frac {d} {dt}} { frac { částečné L} { částečné { dot {Q_ {1}}}}} + { dot { lambda}} - { frac { částečné L} { částečné Q_ {1}}} = 0}$,

${ displaystyle Q_ {2}: { frac {d} {dt}} { frac { částečné L} { částečné { tečka {Q_ {2}}}}} + { lambda} = 0}$,

${ displaystyle lambda: Q_ {2} - { dot {Q_ {1}}} = 0}$,

Nyní kanonická hybnost ${ displaystyle P_ {1}, P_ {2}}$ s ohledem na ${ displaystyle { tilde {L}}}$ jsou snadno ukázány jako

${ displaystyle P_ {1} = { frac { částečné { tilde {L}}} { částečné { dot {Q_ {1}}}}} = { frac { částečné L} { částečné { dot {Q_ {1}}}}} + lambda = { frac { částečné L} { částečné { dot {Q_ {1}}}}} - { frac {d} {dt}} { frac { částečné L} { částečné { tečka {Q_ {2}}}}}}$

${ displaystyle P_ {2} = { frac { částečné { tilde {L}}} { částečné { dot {Q_ {2}}}}}} = { frac { částečné {L}} { částečný { dot {Q_ {2}}}}}}$

zatímco

${ displaystyle P _ { lambda} = 0}$

To jsou přesně ty definice, které uvedl Ostrogradski výše. Jeden může pokračovat v hodnocení Hamiltonianů

${ displaystyle { tilde {H}} = P_ {1} { dot {Q_ {1}}} + P_ {2} { dot {Q_ {2}}} + p _ { lambda} { dot { lambda}} - { tilde {L}} = P_ {1} Q_ {2} + P_ {2} { dot {Q_ {2}}} - {L}}$,

kde jeden používá výše uvedené Euler-Lagrangeovy rovnice pro druhou rovnost. Všimněte si, že kvůli nedegeneraci můžeme psát ${ displaystyle { ddot {q}} = { dot {Q_ {2}}}}$ tak jako ${ displaystyle a (Q_ {1}, Q_ {2}, P_ {2})}$. Pouze tady tři argumenty jsou potřeba, protože Lagrangeova sama má pouze tři volné parametry. Poslední výraz tedy závisí pouze na ${ displaystyle P_ {1}, P_ {2}, Q_ {1}, Q_ {2}}$, ve skutečnosti slouží jako hamiltonián z originál teorie, jmenovitě

${ displaystyle H = P_ {1} Q_ {2} + P_ {2} a (Q_ {1}, Q_ {2}, P_ {2}) - L (Q_ {1}, Q_ {2}, P_ { 2})}$.

Nyní si všimneme, že Hamiltonian je lineární ${ displaystyle P_ {1}}$. Toto je Ostrogradského nestabilita a pramení ze skutečnosti, že Lagrangian závisí na menším počtu souřadnic, než je kanonických souřadnic (které odpovídají počátečním parametrům potřebným ke specifikaci problému). Rozšíření na vyšší dimenzionální systémy je analogické a rozšíření na vyšší derivace jednoduše znamená, že fázový prostor má ještě vyšší rozměr než konfigurační prostor, což zhoršuje nestabilitu (protože Hamiltonian je lineární v ještě kanoničtějších souřadnicích).

Poznámky