Optimální nástroje - Optimal instruments

Tento článek má několik problémů. Prosím pomozte vylepši to nebo diskutovat o těchto otázkách na internetu diskusní stránka. (Zjistěte, jak a kdy tyto zprávy ze šablony odebrat) tento článek je sirotek, jako žádné další články odkaz na to. Prosím zavést odkazy na tuto stránku z související články; zkuste Najít odkaz nástroj pro návrhy. (Ledna 2018) tento článek poskytuje nedostatečný kontext pro ty, kteří danému tématu nejsou obeznámeni. Prosím pomozte vylepšit článek podle poskytuje čtenáři více kontextu. (Ledna 2018) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony) tento článek může být pro většinu čtenářů příliš technická na to, aby tomu rozuměli. Prosím pomozte to vylepšit na aby to bylo srozumitelné pro neodborníky, aniž by byly odstraněny technické podrobnosti. (Ledna 2019) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

v statistika a ekonometrie, optimální nástroje jsou technikou pro zlepšení účinnost z odhady v modely podmíněných momentů, třída semiparametrické modely které generují podmíněné očekávání funkce. Pro odhad parametrů modelu podmíněného momentu může statistik odvodit očekávání funkce (definující "momentové podmínky") a použít zobecněná metoda momentů (GMM). Existuje však nekonečně mnoho momentových podmínek, které lze vygenerovat z jednoho modelu; optimální nástroje poskytují nejúčinnější momentové podmínky.

Jako příklad zvažte nelineární regrese Modelka

${ displaystyle y = f (x, theta) + u}$

${ displaystyle E [u mid x] = 0}$

kde y je skalární (jednorozměrný) náhodná proměnná, X je náhodný vektor s rozměrem k, a θ je k-dimenzionální parametr. Podmíněné omezení momentu ${ displaystyle E [u mid x] = 0}$ odpovídá nekonečně mnoha momentovým podmínkám. Například:

${ displaystyle E [ux] = E [ux ^ {2}] = E [ux ^ {3}] = tečky = 0}$

Obecněji řečeno, pro všechny s vektorovou hodnotou funkce z z X, bude tomu tak

${ displaystyle E [z (x) (y-f (x, theta))] = 0}$.

To znamená, z definuje konečnou množinu ortogonalita podmínky.

Přirozenou otázkou je tedy otázka, zda asymptoticky efektivní soubor podmínek je k dispozici v tom smyslu, že žádný jiný soubor podmínek nedosahuje nižších hodnot asymptotická odchylka.^[1] Oba ekonometrikáři^[2][3] a statistici^[4] intenzivně studovali tento předmět.

Odpovědí na tuto otázku je obecně to, že tato konečná množina existuje a byla prokázána pro širokou škálu odhadů. Takeshi Amemiya byl jedním z prvních, kdo pracoval na tomto problému a ukázal optimální počet nástrojů pro nelineární simultánní modely rovnic s homoskedastickými a sériově nesouvisejícími chybami.^[5] Formu optimálních nástrojů charakterizovala Lars Peter Hansen,^[6] a výsledky pro neparametrický odhad optimálních nástrojů poskytuje Newey.^[7] Výsledek pro odhady nejbližších sousedů poskytl Robinson.^[8]

V lineární regrese

Techniku ​​optimálních nástrojů lze použít k prokázání, že v podmíněném okamžiku lineární regrese model s iid optimální odhad GMM je zobecněné nejmenší čtverce. Zvažte model

${ displaystyle y = x ^ { mathrm {T}} theta + u}$

${ displaystyle E [u mid x] = 0}$

kde y je skalární náhodná proměnná, X je k-dimenzionální náhodný vektor a θ je k-dimenzionální vektor parametrů. Jak je uvedeno výše, momentální podmínky jsou

${ displaystyle E [z (x) (y-x ^ { mathrm {T}} theta)] = 0}$

kde z = z(X) je nástrojová sada dimenze str (str ≥ k). Úkolem je vybrat si z minimalizovat asymptotickou odchylku výsledného odhadu GMM. Pokud jsou data iid, asymptotická odchylka odhadu GMM je

${ displaystyle (E [xz ^ { mathrm {T}}] ^ { mathrm {T}} E [ sigma ^ {2} (x) zz ^ { mathrm {T}}] ^ {- 1} E [zx ^ { mathrm {T}}]) ^ {- 1}}$

kde ${ displaystyle sigma ^ {2} (x) equiv E [u ^ {2} mid x]}$.

Optimální nástroje jsou dány

${ displaystyle z ^ {*} (x) = { frac {x} { sigma ^ {2} (x)}}}$

který vytváří matici asymptotických odchylek

${ displaystyle left (E left [{ frac {xx ^ { mathrm {T}}} { sigma ^ {2} (x)}} right] right) ^ {- 1}}$.

Jedná se o optimální nástroje, protože pro jakýkoli jiný zmatice

${ displaystyle left (E left [{ frac {xx ^ { mathrm {T}}} { sigma ^ {2} (x)}} right] right) ^ {- 1} - (E [xz ^ { mathrm {T}}] ^ { mathrm {T}} E [ sigma ^ {2} (x) zz ^ { mathrm {T}}] ^ {- 1} E [zx ^ { mathrm {T}}]) ^ {- 1}}$

je pozitivní semidefinit.

Dáno iid data ${ displaystyle (y_ {1}, x_ {1}), tečky, (y_ {N}, x_ {N})}$, odhad GMM odpovídá ${ displaystyle z ^ {*} (x)}$ je

${ displaystyle { widetilde { theta}} = left ( sum _ {i = 1} ^ {N} { frac {x_ {i} x_ {i} ^ { mathrm {T}}} { sigma ^ {2} (x_ {i})}} vpravo) ^ {- 1} sum _ {i = 1} ^ {N} { frac {x_ {i} y_ {i}} { sigma ^ {2} (x_ {i})}}}$

což je zobecněný odhad nejmenších čtverců. (Je to neproveditelné, protože σ²(·) není znám.)^[1]

Reference

Další čtení

• Tsiatis, A. A. (2006). Semiparametrická teorie a chybějící data. Springerova řada ve statistice. New York: Springer. ISBN  0-387-32448-8.