Nikde nulový tok - Nowhere-zero flow - Wikipedia

v teorie grafů, a nikde nulový tok nebo Tok NZ je tok sítě to není nikde nula. Je úzce spojeno (dualitou) s zbarvení rovinné grafy.

Definice

Nechat G = (PROTI,E) být a digraf a nechte M být abelianská skupina. Mapa φ: E → M je M-oběh pokud pro každého vrchol proti ∈ PROTI

${ displaystyle sum _ {e in delta ^ {+} (v)} phi (e) = sum _ {e in delta ^ {-} (v)} phi (e),}$

kde δ⁺(proti) označuje sadu hran z proti a δ⁻(proti) označuje sadu hran do proti. Někdy se tato podmínka označuje jako Kirchhoffův zákon.

Li φ(E) ≠ 0 za každou E ∈ E, voláme φ A nikde nulový průtok, an M-tok, nebo NZ-tok. Li k je celé číslo a 0 < |φ(E)| < k pak φ je k-tok.^[1]

Jiné pojmy

Nechat G = (PROTI,E) být neorientovaný graf. Orientace E je modulární k-tok pokud pro každý vrcholproti ∈ PROTI my máme:

${ displaystyle | delta ^ {+} (v) | equiv | delta ^ {-} (v) | { bmod {k}}.}$

Vlastnosti

• Sada M-flows nemusí nutně tvořit skupinu, protože součet dvou toků na jedné hraně může přidat k 0.

• (Tutte 1950) Graf G má M-flow, pokud a pouze pokud má |M| -průtok. V důsledku toho a ${ displaystyle mathbb {Z} _ {k}}$ tok existuje tehdy a jen tehdy, když a k-tok existuje.^[1] Jako následek G připouští a k-potok pak připouští h- kde ${ displaystyle h geq k}$.

• Orientační nezávislost. Upravte tok nikde-nula φ na grafu G výběrem hrany E, obrátit jej a poté vyměnit φ(E) s -φ(E). Po této úpravě φ je stále tok nikde-nula. Kromě toho, pokud φ byl původně a k-flow, pak výsledný φ je také a k-tok. Existence tedy nikde nula M-flow nebo nikde-nula k-flow je nezávislý na orientaci grafu. Tedy neorientovaný graf G prý nemá nikde nulu M-flow nebo nikde-nula k-flow pokud nějaká (a tedy každá) orientace G má takový tok.

Tok polynomu

Nechat ${ displaystyle N_ {M} (G)}$ být počet M- teče dál G. Splňuje to vzorec vypuštění – kontrakce:^[1]

${ displaystyle N_ {M} (G) = N_ {M} (G / e) -N_ {M} (G setminus e).}$

V kombinaci s indukcí můžeme ukázat ${ displaystyle N_ {M} (G)}$ je polynom v ${ displaystyle | M | -1}$ kde ${ displaystyle | M |}$ je objednat skupiny M. Voláme ${ displaystyle N_ {M} (G)}$ the tok polynomu z G a abelianská skupina M.

Výše uvedené znamená, že dvě skupiny stejného řádu mají stejný počet toků NZ. Na pořadí je důležitý jediný parametr skupiny, nikoli struktura M. Zejména ${ displaystyle N_ {M_ {1}} (G) = N_ {M_ {2}} (G)}$ -li ${ displaystyle | M_ {1} | = | M_ {2} |.}$

Výše uvedené výsledky byly prokázány Tutte v roce 1953, kdy studoval Tutteův polynom, zobecnění polynomu toku.^[2]

Dualita plynulého barvení

Bridgeless rovinné grafy

Mezi nimi je dualita k-tvář barviva a k-toky pro bez můstku rovinné grafy. Chcete-li to vidět, nechte G být směrovaný přemostěný rovinný graf se správným k-barvení povrchu barvami ${ displaystyle {0,1, ldots, k-1 }.}$ Vytvořte mapu

${ displaystyle phi: E (G) až {- (k-1), ldots, -1,0,1, ldots, k-1 }}$

podle následujícího pravidla: pokud hrana E má barevný obličej X nalevo a barevný obličej y doprava, pak nechte φ(E) = X – y. Pak φ je (NZ) k- od té doby X a y musí mít různé barvy.

Takže když G a G* jsou rovinné duální grafy a G* je k-barevné (tam je zbarvení tváří G), pak G má NZ k-tok. Použití indukce na |E(G) | Tutte dokázal, že obrácení je také pravda. Lze to stručně vyjádřit jako:^[1]

${ displaystyle chi (G ^ {*}) = phi (G),}$

kde RHS je číslo toku, nejmenší k pro který G povoluje a k-tok.

Obecné grafy

Dualita platí obecně M-toky také:

• Nechat ${ displaystyle c}$ funkce barvení obličeje s hodnotami v M.

• Definovat ${ displaystyle phi _ {c} (e) = c (r_ {1}) - c (r_ {2})}$ kde r₁ je obličej nalevo od E a r₂ je napravo.

• Pro každého M-oběh ${ displaystyle phi}$ existuje funkce barvení C takhle ${ displaystyle phi = phi _ {c}}$ (prokázáno indukcí).

• C je |E(G) | -barvení povrchu právě tehdy ${ displaystyle phi _ {c}}$ je NZ M-proud (přímočarý).

Dualita následuje kombinací posledních dvou bodů. Můžeme se specializovat na ${ displaystyle M = mathbb {Z} _ {k}}$ získat podobné výsledky pro k- toky diskutované výše. Vzhledem k této dualitě mezi toky NZ a barvením a protože můžeme definovat toky NZ pro libovolné grafy (nejen planární), můžeme to použít k rozšíření zbarvení obličeje na nerovinné grafy.^[1]

Aplikace

• G je 2-face-colorable tehdy a jen tehdy, když každý vrchol má sudý stupeň (zvažte NZ 2-flow).^[1]

• Nechat ${ displaystyle K = mathbb {Z} _ {2} times mathbb {Z} _ {2}}$ být Skupina Klein-4. Pak kubický graf má K.-flow pokud a jen pokud je 3-barevný okraj. Důsledkem je, že kubický graf, který je barevný na 3 hranách, je barevný na 4 tvářích.^[1]

• Graf je zbarvitelný na 4 tvářích tehdy a jen tehdy, pokud umožňuje tok NZ 4 (viz Čtyřbarevná věta ). The Petersenův graf nemá NZ 4-flow, a to vedlo k domněnce 4-flow (viz níže).

• Li G je tedy triangulace G je 3- (vrchol) obarvitelný, právě když má každý vrchol rovnoměrný stupeň. První odrážkou je duální graf G* je 2-barevný a tedy bipartitní a rovinný kubický. Tak G* má NZ 3-flow a je tedy 3-tvář barevný, takže G 3-vrcholový barevný.^[1]

• Stejně jako žádný graf s a smyčka hrana má správné zbarvení vrcholů, žádný graf s a most může mít NZ M- tok pro jakoukoli skupinu M. Naopak každý můstkový graf má NZ ${ displaystyle mathbb {Z}}$-flow (forma Robbinsova věta ).^[3]

Existence k-proudí

Nevyřešený problém v matematice: Má každý přemostěný graf nikde nulový 5 tok? Má každý přemostěný graf, který nemá Petersenův graf jako vedlejší, nulový 4-tok? (více nevyřešených úloh z matematiky)

Zajímavé otázky vyvstávají, když se pokoušíte najít nikde nulu k-toky pro malé hodnoty k. Bylo prokázáno:

Jaegerova teorém se čtyřmi proudy. Každé 4připojeno k okraji graf má 4-tok.^[4]

Seymour věta o šesti proudech. Každý přemostěný graf má tok 6.^[5]

3-tok, 4-tok a 5-tok dohady

Od roku 2019 jsou v současné době nevyřešeny následující položky (z důvodu Tutte ):

3-flow domněnka. Každý graf propojený se 4 hranami má nulový 3 tok.^[6]

4proudová domněnka. Každý přemostěný graf, který nemá Petersenův graf jako Méně důležitý nemá 4-tok nikde nula.^[7]

5-toková domněnka. Každý přemostěný graf má 5-tok nikde nula.^[8]

Konverzace čtyřproudové hypotézy neplatí, protože kompletní graf K.₁₁ obsahuje Petersenův graf a 4-tok.^[1] Pro můstky kubické grafy bez žádného Petersenova malého, existují 4 toky věta o žertu (Seymour, et al 1998, dosud nezveřejněno). The čtyřbarevná věta je ekvivalentní tvrzení, že žádný snark není rovinný.^[1]

Viz také

• Algebraická teorie toku
• Cyklický prostor
• Cyklus dohadů o dvojím krytí
• Čtyřbarevná věta
• Barvení grafu
• Barvení hran
• Tutteův polynom

Reference

Další čtení

• Zhang, Cun-Quan (1997). Toky celých čísel a kryty cyklů grafů. Série Chapman & Hall / CRC Pure and Applied Mathematics. Marcel Dekker, Inc. ISBN  9780824797904. LCCN  96037152.
• Zhang, Cun-Quan (2012). Obvod dvojité obálky grafů. Cambridge University Press. ISBN  978-0-5212-8235-2.
• Jensen, T. R .; Toft, B. (1995). "13 Orientace a toky". Problémy s barvením grafů. Wiley-Interscience Serires v diskrétní matematice a optimalizaci. str.209 –219.
• Jacobsen, Jesper Lykke; Salas, Jesús (2013). „Je dohad o pěti proudech téměř falešný?“. Journal of Combinatorial Theory. Řada B. 103 (4): 532–565. arXiv:1009.4062. doi:10.1016 / j.jctb.2013.06.001. PAN  3071381.