Lemma s pevným bodem pro normální funkce - Fixed-point lemma for normal functions

The lemma s pevným bodem pro normální funkce je základní výsledek v axiomatická teorie množin s uvedením, že jakýkoli normální funkce má libovolně velký pevné body (Levy 1979: s. 117). Poprvé to prokázal Oswald Veblen v roce 1908.

Pozadí a formální prohlášení

A normální funkce je třída funkce ${ displaystyle f}$ ze třídy Ord řadové číslovky sama sobě taková, že:

• ${ displaystyle f}$ je přísně se zvyšuje: ${ displaystyle f ( alpha)$ kdykoli ${ displaystyle alpha < beta}$.
• ${ displaystyle f}$ je kontinuální: pro každý pořadový limit ${ displaystyle lambda}$ (tj. ${ displaystyle lambda}$ není ani nula, ani nástupce), ${ displaystyle f ( lambda) = sup {f ( alfa): alpha < lambda }}$.

Je možné ukázat, že pokud ${ displaystyle f}$ je tedy normální ${ displaystyle f}$ dojíždí s suprema; pro jakoukoli neprázdnou sadu ${ displaystyle A}$ ordinálů

${ displaystyle f ( sup A) = sup f (A) = sup {f ( alpha): alpha v A }}$.

Opravdu, pokud ${ displaystyle sup A}$ je potom pořadovým nástupcem ${ displaystyle sup A}$ je prvek ${ displaystyle A}$ a rovnost vyplývá z rostoucí vlastnosti ${ displaystyle f}$. Li ${ displaystyle sup A}$ je limitní pořadové číslo, potom rovnost vyplývá ze spojité vlastnosti ${ displaystyle f}$.

A pevný bod normální funkce je ordinální ${ displaystyle beta}$ takhle ${ displaystyle f ( beta) = beta}$.

Lemma pevných bodů uvádí, že třída pevných bodů jakékoli normální funkce je neprázdná a ve skutečnosti je neomezená: vzhledem k libovolnému pořadovému číslu ${ displaystyle alpha}$, existuje ordinál ${ displaystyle beta}$ takhle ${ displaystyle beta geq alpha}$ a ${ displaystyle f ( beta) = beta}$.

Spojitost normální funkce znamená, že třída pevných bodů je uzavřena (supremum jakékoli podmnožiny třídy pevných bodů je opět pevný bod). Lemma pevného bodu je tedy ekvivalentní tvrzení, že pevné body normální funkce tvoří a uzavřený a neomezený třída.

Důkaz

Prvním krokem důkazu je ověření, že F(γ) ≥ γ pro všechny ordinály γ a to F dojíždí s suprema. Na základě těchto výsledků indukčně definujte rostoucí sekvenci <α_n> (n <ω) nastavením α₀ = α a α_n+1 = F(α_n) pro n ∈ ω. Nechť β = sup {α_n : n ∈ ω}, tedy β ≥ α. Navíc, protože F dojíždí s suprema,

F(β) = F(sup {α_n : n <ω})

= sup {F(α_n) : n <ω}

= sup {α_n+1 : n <ω}

= β.

Poslední rovnost vyplývá ze skutečnosti, že posloupnost <α_n> zvyšuje. ${ displaystyle square}$

Kromě toho lze prokázat, že takto nalezený β je nejmenší pevný bod větší nebo rovný α.

Příklad aplikace

Funkce F : Ord → Ord, F(α) = ω_α je normální (viz počáteční pořadové číslo ). Existuje tedy ordinální θ takové, že θ = ω_θ. Lema ve skutečnosti ukazuje, že existuje uzavřená neomezená třída takového θ.

Reference

• Levy, A. (1979). Teorie základních množin. Springer. ISBN  978-0-387-08417-6. Republished, Dover, 2002.
• Veblen, O. (1908). "Kontinuálně rostoucí funkce konečných a transfinitních řadových čísel". Trans. Amer. Matematika. Soc. 9 (3): 280–292. doi:10.2307/1988605. ISSN  0002-9947. JSTOR  1988605. Dostupné prostřednictvím JSTOR.