Newton – Gaussova linie - Newton–Gauss line

Čára vytvořená spojením středů všech úhlopříček (L, M, a N) je Newton – Gaussova linie.

v geometrie, Newton – Gaussova linie (nebo Gauss – Newtonova linie) je čára připojující se k střední body ze tří úhlopříčky a kompletní čtyřúhelník.

Středy dvou úhlopříček a konvexní čtyřúhelník s nanejvýš dvěma rovnoběžnými stranami jsou odlišné a tak určují linii, Newtonova linie. Pokud jsou strany takového čtyřúhelníku prodlouženy a tvoří úplný čtyřúhelník, úhlopříčky čtyřúhelníku zůstávají úhlopříčkami úplného čtyřúhelníku a Newtonova linie čtyřúhelníku je Newton – Gaussova linie úplného čtyřúhelníku.

Kompletní čtyřúhelníky

Libovolné čtyři řádky obecná pozice (žádné dvě čáry nejsou rovnoběžné a žádné tři nejsou souběžné) tvoří a kompletní čtyřúhelník. Tento konfigurace sestává z celkem šesti bodů, průsečíků čtyř linií, se třemi body na každé linii a přesně dvěma liniemi skrz každý bod.^[1] Těchto šest bodů lze rozdělit do dvojic, takže úsečky určené kteroukoli dvojicí neprotínají žádný z uvedených čtyř řádků kromě koncových bodů. Tyto tři úsečky se nazývají úhlopříčky celého čtyřúhelníku.

Existence Newton-Gaussovy linie

Je dobře známou větou, že tři středy úhlopříček úplného čtyřúhelníku jsou kolineární.^[2]Existuje několik důkazů o výsledku na základě oblastí ^[2] nebo klínové výrobky^[3] nebo, jako následující důkaz, na Menelausova věta, vzhledem k Hillyer a publikoval v roce 1920.^[4]

Nechte úplný čtyřúhelník ABCA'B'C ' být označen jako na obrázku s úhlopříčkami AA ' , BB ' a CC ' a jejich příslušné střední body, L, M a N. Nechte středy před naším letopočtem, CA ' a A'B být P, Q a R resp. Při použití podobných trojúhelníků je to vidět QR protíná se AA ' na L, RP protíná se BB ' na M a PQ protíná se CC ' na N. Podobné trojúhelníky opět poskytují následující rozměry,

${ displaystyle { frac {RL} {LQ}} = { frac {BA} {AC}}, quad { frac {QN} {NP}} = { frac {A'C '} {C' B}}, quad { frac {PM} {MR}} = { frac {CB '} {B'A'}}.}$

Avšak řada AB'C ' protíná strany trojúhelníku A'BC, tedy podle Menelausovy věty je součin termínů na pravé straně -1. Součin termínů na levé straně je tedy také −1 a opět podle Menelausovy věty jsou body L, M a N jsou kolineární po stranách trojúhelníku PQR.

Aplikace na cyklické čtyřstěny

Následuje několik výsledků, které používají Newton – Gaussovu řadu kompletních čtyřúhelníků, se kterými je spojeno cyklické čtyřstěny, založený na práci Barbu a Patrascu.^[5]

Stejné úhly

Obrázek 1: Rovnost úhlu.

Vzhledem k jakémukoli cyklickému čtyřúhelníku ${ displaystyle ABCD}$, dovolte bod ${ displaystyle F}$ být průsečík mezi dvěma úhlopříčkami ${ displaystyle AC}$ a ${ displaystyle BD}$. Roztáhněte úhlopříčky ${ displaystyle AB}$ a ${ displaystyle CD}$ dokud se nesetkají v průsečíku, ${ displaystyle E}$. Nech střed z segment ${ displaystyle EF}$ být ${ displaystyle N}$, a nechte střed segmentu ${ displaystyle BC}$ být ${ displaystyle M}$ (Obrázek 1).

Teorém

Je-li střed úsečky ${ displaystyle BF}$ je ${ displaystyle P}$, Newton – Gaussova linie úplného čtyřúhelníku ${ displaystyle ABCDEF}$ a čára ${ displaystyle PM}$ určit úhel ${ displaystyle úhel PMN}$ rovná ${ displaystyle úhel EFD}$.

Důkaz

Nejprve ukázat, že trojúhelníky ${ displaystyle trojúhelník NPM}$ a ${ displaystyle trojúhelník EDF}$ jsou podobný.

Od té doby ${ displaystyle BE paralelní PN}$ a ${ displaystyle FC paralelní PM}$, víme ${ displaystyle úhel NPM = úhel EAC}$. Taky, ${ displaystyle left ({ frac {BE} {PN}} right)}$${ displaystyle = left ({ frac {FC} {PM}} right) = 2.}$

V cyklickém čtyřúhelníku ${ displaystyle ABCD}$, tyto rovnosti držet:

${ displaystyle úhel EDF = úhel ADF + úhel EDA = úhel ACB + úhel ABC = úhel EAC.}$

Proto, ${ displaystyle úhel NPM = úhel EDF.}$

Nechat ${ displaystyle R_ {1}}$ a ${ displaystyle R_ {2}}$ být poloměry z circumcircles z ${ displaystyle trojúhelník EDB}$ a ${ displaystyle trojúhelník FCD}$, resp. Použijte sinusový zákon k trojúhelníkům, získat:

${ displaystyle { frac {BE} {FC}} = { frac {2R_ {1} sin EDB} {2R_ {2} sin FDC}} = { frac {R_ {1}} {R_ {2 }}} = { frac {2R_ {1} sin EBD} {2R_ {2} sin FCD}} = { frac {DE} {DF}}.}$

Od té doby ${ displaystyle BE = 2PN}$a ${ displaystyle FC = 2PM}$, to ukazuje rovnost ${ displaystyle { frac {PN} {PM}} = { frac {DE} {DF}}.}$ Podobnost trojúhelníků ${ displaystyle PMN}$ a ${ displaystyle DFE}$ následuje a ${ displaystyle úhel NMP = úhel EFD.}$

Poznámka

Li ${ displaystyle Q}$ je střed úsečky ${ displaystyle FC}$, ze stejného důvodu vyplývá, že ${ displaystyle úhel NMQ = úhel EFA.}$

Obrázek 2: Isogonal lines.

Isogonal lines

Teorém

Linka prošla ${ displaystyle E}$ paralelní k Newton – Gaussově linii úplného čtyřúhelníku ${ displaystyle ABCDEF}$ a čára ${ displaystyle EF}$ jsou isogonal lines of ${ displaystyle úhel BEC}$, to znamená, že každý řádek je a odraz toho druhého o úhlová osa.^[5] (Obrázek 2)

Důkaz

Trojúhelníky ${ displaystyle EDF}$ a ${ displaystyle NPM}$ jsou podobné výše uvedeným argumentem, takže ${ displaystyle úhel DEF = úhel PNM}$. Nechat ${ displaystyle E '}$ být průsečíkem ${ displaystyle BC}$ a přímka rovnoběžná s přímkou ​​Newton – Gauss ${ displaystyle NM}$ přes ${ displaystyle E}$.

Od té doby ${ displaystyle PN || BE}$ a ${ displaystyle NM || EE '}$, ${ displaystyle úhel BEF = úhel PNF}$, a ${ displaystyle úhel FNM = úhel E'EF}$.

Proto, ${ displaystyle úhel CEE '= úhel DEF- úhel E'EF = úhel PNM- úhel FNM = úhel PNF = úhel BEF.}$

Dva cyklické čtyřstěny, které sdílejí Newton-Gaussovu linii

Obrázek 3: Ukazující, že čtyřúhelníky MPGN a MQHN jsou cyklické.

Lemma

Nechat ${ displaystyle G}$ a ${ displaystyle H}$ být ortogonální projekce bodu ${ displaystyle F}$ na řádcích ${ displaystyle AB}$ a ${ displaystyle CD}$ resp.

The čtyřúhelníky ${ displaystyle MPGN}$ a ${ displaystyle MQHN}$jsou cyklické čtyřstěny.^[5]

Důkaz

${ displaystyle úhel EFD = úhel PMN}$, jak již bylo uvedeno. Body ${ displaystyle P}$ a ${ displaystyle N}$ jsou příslušné cirkumcentry z pravé trojúhelníky ${ displaystyle trojúhelník BFG}$ a ${ displaystyle trojúhelník EFG}$. Tím pádem, ${ displaystyle úhel PGF = úhel PFG}$ a ${ displaystyle úhel FGN = úhel GFN}$.

Proto,

${ displaystyle { začátek {zarovnáno} úhel PGN + úhel PMN & = ( úhel PGF + úhel FGN) + úhel PMN [4pt] & = úhel PFG + úhel GFN + úhel EFD [4pt] & = 180 ^ { circ} end {aligned}}.}$

Proto, ${ displaystyle MPGN}$ je cyklický čtyřúhelník a ze stejného důvodu, ${ displaystyle MQHN}$ leží také na kruhu.

Obrázek 4: Ukazující, že kompletní čtyřúhelníky EDGHIJ a A B C D E F mají stejnou linii Newton – Gauss.

Teorém

Prodlužte čáry ${ displaystyle GF}$ a ${ displaystyle HF}$ protínat se ${ displaystyle EC}$ a ${ displaystyle EB}$ na ${ displaystyle I}$ a ${ displaystyle J}$ (Obrázek 4).

Kompletní čtyřúhelníky ${ displaystyle EFGHIJ}$ a ${ displaystyle ABCDEF}$ mají stejnou linii Newton – Gauss.^[5]

Důkaz

Dva úplné čtyřúhelníky mají sdílenou úhlopříčku, ${ displaystyle EF}$. ${ displaystyle N}$ leží na Newton – Gaussově linii obou čtyřúhelníků. ${ displaystyle N}$ je stejně vzdálený z ${ displaystyle G}$ a ${ displaystyle H}$, protože se jedná o circumcenter cyklického čtyřúhelníku ${ displaystyle EGFH}$.

Pokud trojúhelníky ${ displaystyle trojúhelník GMP}$ a ${ displaystyle trojúhelník HMQ}$ jsou shodný a to bude následovat ${ displaystyle M}$ leží na kolmá osa linky ${ displaystyle HG}$. Proto linka ${ displaystyle MN}$ obsahuje střed ${ displaystyle GH}$, a je to řada Newton – Gauss ${ displaystyle EFGHIJ}$.

Ukázat, že trojúhelníky ${ displaystyle trojúhelník GMP}$ a ${ displaystyle trojúhelník HMQ}$ jsou shodné, nejprve si toho všimněte ${ displaystyle PMQF}$ je rovnoběžník, protože body ${ displaystyle M}$ a ${ displaystyle P}$ jsou středy ${ displaystyle BF}$ a ${ displaystyle BC}$ resp.

Proto,

• ${ displaystyle MP = QF = HQ,}$
• ${ displaystyle GP = PF = MQ,}$ a
• ${ displaystyle úhel MPF = úhel FQM.}$

Všimněte si také, že

${ Displaystyle úhel FPG = 2 úhel PBG = 2 úhel DBA = 2 úhel DCA = 2 úhel HCF = úhel HQF.}$

Proto,

${ Displaystyle úhel MPG = úhel MPF + úhel FPG = úhel FQM + úhel HQF = úhel HQF + úhel FQM = úhel HQM.}$

Proto, ${ displaystyle trojúhelník GMP}$ a ${ displaystyle trojúhelník HMQ}$ jsou shodné SAS.

Poznámka

Kvůli ${ displaystyle trojúhelník GMP}$ a ${ displaystyle trojúhelník HMQ}$ jsou shodné trojúhelníky, jejich circumcircles ${ displaystyle MPGN}$ a ${ displaystyle MQHN}$ jsou také shodný.

Dějiny

Důkaz Newton – Gaussovy linie byl vyvinut dvěma matematiky, podle nichž je pojmenován: Sir Isaac Newton a Carl Friedrich Gauss.^{[Citace je zapotřebí ]} Počáteční rámec pro tuto větu je z práce Newton, ve své předchozí větě o Newtonově linii, ve které Newton ukázal, že střed kuželosečky zapsané do čtyřúhelníku leží na Newton – Gaussově linii.^[6]

Věta o Gaussovi a Bodenmillerovi říká, že tři kružnice, jejichž průměry jsou úhlopříčky úplného čtyřúhelníku, jsou koaxiální.^[7]

Poznámky

Reference

• Johnson, Roger A. (2007) [1929], Pokročilá euklidovská geometrieDover, ISBN  978-0-486-46237-0
  • (k dispozici on-line jako) Johnson, Roger A. (1929). „Moderní geometrie: Základní pojednání o geometrii trojúhelníku a kruhu“. HathiTrust. Citováno 28. května 2019.

externí odkazy

• Bogomonly, Alexander. „Věta úplného čtyřúhelníku: Co je to?“. Citováno 11. května 2019.