Nemytskii operátor - Nemytskii operator - Wikipedia

v matematika, Nemytskii operátoři jsou třídou nelineární operátory na L^str mezery s dobrým kontinuita a omezenost vlastnosti. Berou své jméno z matematik Viktor Vladimirovič Nemytskii.

Definice

Nechť Ω je doména (an otevřeno a připojená sada ) v n-dimenzionální Euklidovský prostor. Funkce F : Ω ×R^m → R prý uspokojuje Carathéodoryovy ​​podmínky -li

• F(X, u) je spojitá funkce u pro téměř všechny X ∈ Ω;
• F(X, u) je měřitelná funkce z X pro všechny u ∈ R^m.

Vzhledem k funkci F splňující karathéodorské podmínky a funkci u : Ω →R^m, definovat novou funkci F(u): Ω →R podle

${ displaystyle F (u) (x) = f { big (} x, u (x) { big)}.}$

Funkce F se nazývá a Nemytskii operátor.

Věta o omezenosti

Nechť Ω je doména, nechť 1 <str <+ ∞ a nechte G ∈ L^q(Ω;R), s

${ displaystyle { frac {1} {p}} + { frac {1} {q}} = 1.}$

Předpokládejme to F splňuje podmínky Carathéodory a to pro některé stálé C a všechno X a u,

${ displaystyle { big |} f (x, u) { big |} leq C | u | ^ {p-1} + g (x).}$

Pak operátor Nemytskii F jak je definováno výše, je ohraničená a spojitá mapa z L^str(Ω;R^m) do L^q(Ω;R).

Reference

• Renardy, Michael & Rogers, Robert C. (2004). Úvod do parciálních diferenciálních rovnic. Texty v aplikované matematice 13 (druhé vydání). New York: Springer-Verlag. p. 370. ISBN  0-387-00444-0. (Oddíl 10.3.4)