Negativní frekvence - Negative frequency

Koncept negativní a pozitivní frekvence může být stejně jednoduché jako kolo otáčející se jedním nebo druhým směrem: a podepsaná hodnota frekvence může indikovat rychlost i směr otáčení. Rychlost je vyjádřena v jednotkách, jako jsou otáčky (a.k.a. cykly) za vteřinu (hertz ) nebo radián / sekundu (kde 1 cyklus odpovídá 2π radiány ).

Sinusoidy

Nechat ω být nezáporný parametr s jednotkami radiánů za sekundu. Pak úhlová funkce (úhel vs. čas) −ωt + θ, má sklon -ω, který se nazývá a záporná frekvence. Ale když je funkce použita jako argument kosinusového operátoru, výsledek je nerozeznatelný od cos (ωt − θ). Podobně, hřích (-ωt + θ) je k nerozeznání od hřích(ωt − θ + π). Tedy jakékoli sinusoida lze vyjádřit kladnými frekvencemi. Znamení základního fázového sklonu je nejednoznačné.

Záporná frekvence způsobí, že funkce sin (fialová) povede cos (červená) o 1/4 cyklu.

Vektor (cos t, hřích t) otáčí se proti směru hodinových ručiček rychlostí 1 radián za sekundu a každé 2 dokončí kruhπ sekundy. Vektor (cos -t, hřích -t) otáčí se opačným směrem (není zobrazen).

Nejednoznačnost je vyřešena, když lze kosinové a sinusové operátory pozorovat současně, protože cos (ωt + θ) vede hřích(ωt + θ) o 1/4 cyklu (= π/ 2 radiány), když ω > 0, a zaostává o 1/4 cyklu, když ω < 0. Podobně vektor, (cos t, hřích t), otáčí se proti směru hodinových ručiček rychlostí 1 radián za sekundu a každých 2π sekund dokončí kruh a vektor (cos −t, sin −t) otáčí se opačným směrem.

Znamení ω je také zachována v funkce s komplexní hodnotou:

${ displaystyle e ^ {i omega t} = underbrace { cos ( omega t)} _ {R (t)} + i cdot underbrace { sin ( omega t)} _ {I (t )},}$[A]

(Rovnice 1)

od R (t) a já (t) lze samostatně extrahovat a porovnat. Ačkoli ${ displaystyle e ^ {i omega t}}$ jasně obsahuje více informací než kterákoli z jeho složek, běžný výklad je, že se jedná o jednodušší funkci, protože:

Aplikace

Snad nejznámější aplikací negativní frekvence je výpočet:

${ displaystyle X ( omega) = int _ {a} ^ {b} x (t) cdot e ^ {- i omega t} dt,}$

což je míra velikosti frekvence ω ve funkci X(t) v daném intervalu (A, b). Při hodnocení jako spojitá funkce ω pro teoretický interval (−∞, ∞), je znám jako Fourierova transformace z X(t). Stručné vysvětlení je, že produktem dvou komplexních sinusoid je také komplexní sinusoid, jejíž frekvence je součtem původních frekvencí. Takže když ω je pozitivní, ${ displaystyle e ^ {- i omega t}}$ způsobí všechny frekvence X(t) snížit o částku ω. Bez ohledu na část X(t) to bylo na frekvenci ω se změní na frekvenci nula, což je jen konstanta, jejíž úroveň amplitudy je měřítkem síly originálu ω obsah. A cokoli z toho X(t), který byl na frekvenci nula, se změní na sinusoid při frekvenci -ω. Podobně jsou všechny ostatní frekvence změněny na nenulové hodnoty. Jako interval (A, b) roste, příspěvek konstantního období roste úměrně. Ale příspěvky sinusových výrazů oscilují pouze kolem nuly. Tak X(ω) se zlepšuje jako relativní měřítko velikosti frekvence ω ve funkci X(t).

The Fourierova transformace z${ displaystyle e ^ {i omega t}}$ produkuje nenulovou odezvu pouze při frekvenci ω. Transformace ${ displaystyle cos ( omega t)}$ má odpovědi na oba ω a -ω, jak předpokládá Rovnice 2.

Vzorkování kladných a záporných frekvencí a aliasing

Tento obrázek zobrazuje dva komplexní sinusoidy, barevné zlato a azurovou, které odpovídají stejným souborům skutečných a imaginárních vzorových bodů. Jedná se tedy o vzájemné aliasy, jsou-li vzorkovány rychlostí (F_s) označeny čarami mřížky. Zlato zbarvená funkce zobrazuje kladnou frekvenci, protože její skutečná část (funkce cos) vede svou imaginární část o 1/4 jednoho cyklu. Azurová funkce zobrazuje zápornou frekvenci, protože její skutečná část zaostává za imaginární částí.

Poznámky

Další čtení

• Pozitivní a negativní frekvence
• Lyons, Richard G. (11. listopadu 2010). Kapitola 8.4. Porozumění zpracování digitálního signálu (3. vyd.). Prentice Hall. 944 stran ISBN  0137027419.