Nakamura číslo - Nakamura number

v teorie kooperativní hry a teorie sociální volby, Nakamura číslo Měří míru racionality pravidel agregace preferencí (pravidla kolektivního rozhodování), jako jsou pravidla hlasování. Je to ukazatel míry, do jaké může pravidlo agregace přinést dobře definované volby.

Pokud je počet alternativ (kandidátů; možností) na výběr menší než tento počet, pak dané pravidlo bez problémů identifikuje „nejlepší“ alternativy.

V porovnání,

pokud je počet alternativ větší nebo roven tomuto počtu, pravidlo nedokáže určit „nejlepší“ alternativy pro určitý způsob hlasování (tj. pro některé profil (n-tice ) individuálních preferencí), protože a volební paradox vznikne (a cyklus generované jako alternativa ${ displaystyle a}$ společensky upřednostňována před alternativou ${ displaystyle b}$ , ${ displaystyle b}$ na ${ displaystyle c}$ , a ${ displaystyle c}$ na ${ displaystyle a}$ ).

Čím větší číslo má Nakamura, tím větší je počet alternativ, s nimiž se pravidlo může racionálně vypořádat. Například, protože (s výjimkou čtyř osob (voličů)) je Nakamurovo číslo většinového pravidla tři, pravidlo může zabývat se až dvěma alternativami racionálně (aniž by to způsobilo paradox). Číslo je pojmenováno po Kenjiro Nakamura (1947–1979), japonském teoretikovi her, který dokázal výše uvedený fakt, že racionalita kolektivní volby kriticky závisí na počtu alternativ.^[1]

Přehled

Abychom představili přesnou definici čísla Nakamura, uvedeme příklad „hry“ (která je základem dotyčného pravidla), ke které bude číslo Nakamura přiřazeno. Předpokládejme, že množinu jednotlivců tvoří jednotlivci 1, 2, 3, 4 a 5. Za většinovým pravidlem je následující kolekce („rozhodující“) koalice (podmnožiny jednotlivců) mající alespoň tři členy:

{ {1,2,3}, {1,2,4}, {1,2,5}, {1,3,4}, {1,3,5}, {1,4,5}, {2,3,4}, {2,3,5}, {2,4,5}, {3,4,5}, {1,2,3,4}, {1,2,3,5}, {1,2,4,5}, {1,3,4,5}, {2,3,4,5}, {1,2,3,4,5} }

Takovým sbírkám, kterým říkáme, lze přiřadit číslo Nakamura jednoduché hryPřesněji, a jednoduchá hra je jen svévolná sbírka koalic, o koalicích, které do ní patří, se říká, že jsou vítězný; ostatní ztrácíPokud všichni (alespoň tři, v příkladu výše) členové vítězné koalice upřednostňují alternativu x před alternativou y, pak společnost (z pěti jednotlivců, v příkladu výše) přijme stejné hodnocení (sociální preference).

The Nakamura číslo jednoduché hry je definován jako minimální počet vítězných koalic s prázdnými průsečík (Protínáním tohoto počtu vítězných koalic lze někdy získat prázdnou sadu. Ale protínáním menšího než tohoto počtu nelze nikdy získat prázdnou sadu.) Nakamurovo číslo výše uvedené jednoduché hry je například tři, protože křižovatka dvou vítězných koalic obsahuje alespoň jednoho jednotlivce, ale křižovatka následujících tří vítězných koalic je prázdná: ${ displaystyle {1,2,3 }}$ , ${ displaystyle {4,5,1 }}$ , ${ displaystyle {2,3,4 }}$ .

Nakamurova věta (1979^[2]) dává následující nezbytnou (také dostatečnou, pokud je sada alternativ konečná) podmínka pro to, aby jednoduchá hra měla neprázdné „jádro“ (soubor sociálně „nejlepších“ alternativ) pro všechny profily individuálních preferencí: počet alternativ je méně než Nakamura číslo jednoduché hry. Zde je jádro jednoduché hry s ohledem na profil preferencí je sada všech alternativ ${ displaystyle x}$ taková, že neexistuje žádná alternativa ${ displaystyle y}$ že každý jednotlivec ve vítězné koalici dává přednost ${ displaystyle x}$ ; tj. soubor maximální prvky sociálního preference. U výše uvedeného příkladu většinové hry věta naznačuje, že jádro bude prázdné (žádná alternativa nebude považována za „nejlepší“) pro nějaký profil, pokud existují tři nebo více alternativ.

Existují varianty Nakamurovy věty, které poskytují podmínku pro neprázdnost jádra (i) pro všechny profily acyklický ii) pro všechny profily tranzitivní preference; a (iii) pro všechny profily lineární objednávkyExistuje jiná varianta (Kumabe a Mihara, 2011^[3]), který upustí od acyklicitaVarianta dává podmínku, aby jádro bylo neprázdné pro všechny profily preferencí, které mají maximální prvky.

Pro hodnocení alternativ, existuje velmi dobře známý výsledek zvaný „Věta o nemožnosti šipky „v teorii sociální volby, která poukazuje na obtížnost skupiny jednotlivců při hodnocení tří nebo více alternativ výběr ze sady alternativ (místo hodnocení Nakamurova věta je relevantnější.^[5]Zajímavou otázkou je, jak velké může být číslo Nakamury. Ukázalo se, že pro (konečnou nebo) algoritmicky vypočítatelnou jednoduchou hru, která nemá hráče veta (jedinec, který patří do každé vítězné koalice), má číslo Nakamura větší než tři , hra musí být není silný.^[6]To znamená, že existuje ztrácí (tj. nevyhrávat) koalice, jejíž doplněk také ztrácí. To zase znamená, že neprázdnost jádra je zajištěna pro sadu tří nebo více alternativ, pouze pokud jádro může obsahovat několik alternativ, které nelze přesně zařadit.^[8]

Rámec

Nechat ${ displaystyle N}$ být (konečný nebo nekonečný) neprázdný soubor JednotlivciPodskupiny ${ displaystyle N}$ se nazývají koalice.A jednoduchá hra (hlasovací hra) je sbírka ${ displaystyle W}$ (Rovněž se jedná o koaliční hru, která každé koalici přiřadí buď 1 nebo 0.) Předpokládáme, že ${ displaystyle W}$ je neprázdné a neobsahuje prázdnou množinu ${ displaystyle W}$ jsou vítězný; ostatní jsou ztrácí.Jednoduchá hra ${ displaystyle W}$ je monotóní -li ${ displaystyle S ve W}$ a ${ displaystyle S subseteq T}$ naznačit ${ displaystyle T ve W}$ . to je správně -li ${ displaystyle S ve W}$ naznačuje ${ displaystyle N setminus S notin W}$ .To je silný -li ${ displaystyle S notin W}$ naznačuje ${ displaystyle N setminus S ve W}$ .A vetovat hráče (vetoer) je jednotlivec, který patří do všech vítězných koalic. jednoduchá hra je slabý pokud nemá hráče veta konečný pokud existuje konečná množina (nazývá se a dopravce) ${ displaystyle T subseteq N}$ takové, že pro všechny koalice ${ displaystyle S}$ , my máme ${ displaystyle S ve W}$ iff ${ displaystyle S cap T ve W}$ .

Nechat ${ displaystyle X}$ být (konečnou nebo nekonečnou) množinou alternativy, jehož základní číslovka (počet prvků) ${ displaystyle #X}$ je nejméně dva. A (přísné) přednost je asymetrický vztah ${ displaystyle succ}$ na ${ displaystyle X}$ :li ${ displaystyle x succ y}$ (přečíst „ ${ displaystyle x}$ se dává přednost ${ displaystyle y}$ "), pak ${ displaystyle y not succ x}$ Říkáme, že preference ${ displaystyle succ}$ je acyklický (neobsahuje cykly) pokud pro jakýkoli konečný počet alternativ ${ displaystyle x_ {1}, ldots, x_ {m}}$ kdykoli ${ displaystyle x_ {1} succ x_ {2}}$ , ${ displaystyle x_ {2} succ x_ {3}}$ ,…, ${ displaystyle x_ {m-1} succ x_ {m}}$ ,my máme ${ displaystyle x_ {m} ne succ x_ {1}}$ . Všimněte si, že acyklické vztahy jsou asymetrické, tedy preference.

A profil je seznam ${ displaystyle p = ( succ _ {i} ^ {p}) _ {i v N}}$ individuálních preferencí ${ displaystyle succ _ {i} ^ {p}}$ .Tady ${ displaystyle x succ _ {i} ^ {p} y}$ znamená, že jednotlivec ${ displaystyle i}$ upřednostňuje alternativu ${ displaystyle x}$ na ${ displaystyle y}$ v profilu ${ displaystyle p}$ .

A jednoduchá hra s řadovými preferencemi je pár ${ displaystyle (W, p)}$ skládající se z jednoduché hry ${ displaystyle W}$ a profil ${ displaystyle p}$ Uvedeno ${ displaystyle (W, p)}$ , a dominance vztah (sociální preference) ${ displaystyle succ _ {W} ^ {p}}$ je definováno na ${ displaystyle X}$ podle ${ displaystyle x succ _ {W} ^ {p} y}$ jen tehdy, pokud existuje vítězná koalice ${ displaystyle S ve W}$ uspokojující ${ displaystyle x succ _ {i} ^ {p} y}$ pro všechny ${ displaystyle i v S}$ .v jádro ${ displaystyle C (W, p)}$ z ${ displaystyle (W, p)}$ je sada alternativ, které nejsou jmenovány ${ displaystyle succ _ {W} ^ {p}}$ (sada maximálních prvků ${ displaystyle X}$ s ohledem na ${ displaystyle succ _ {W} ^ {p}}$ ):

{ displaystyle x v C (W, p)}

právě tehdy, když není

{ displaystyle y v X}

takhle

{ displaystyle y succ _ {W} ^ {p} x}

.

Definice a příklady

The Nakamura číslo ${ displaystyle nu (W)}$ jednoduché hry ${ displaystyle W}$ je velikost (základní číslo) nejmenší sbírky vítězných koalic s prázdnou křižovatkou:^[9]

{ displaystyle nu (W) = min { # W ': W' subseteq W; čepice W '= prázdná sada }}

-li ${ displaystyle cap W = cap _ {S v W} S = emptyset}$ (žádný hráč veta);^[2] v opačném případě, ${ displaystyle nu (W) = + infty}$ (větší než jakékoli hlavní číslo).

je snadné dokázat, že pokud ${ displaystyle W}$ je tedy jednoduchá hra bez hráče veta ${ displaystyle 2 leq nu (W) leq #N}$ .

Příklady pro konečně mnoho jednotlivců ( ${ displaystyle N = {1, ldots, n }}$ ) (viz Austen-Smith and Banks (1999), Lemma 3.2^[4]).Nechat ${ displaystyle W}$ být jednoduchá hra, která je monotónní a správná.

Li ${ displaystyle W}$ je tedy silný a bez hráče veta ${ displaystyle nu (W) = 3}$ .
Li ${ displaystyle W}$ je většinová hra (tj. koalice vyhrává právě tehdy, pokud se skládá z více než poloviny jednotlivců) ${ displaystyle nu (W) = 3}$ -li ${ displaystyle n neq 4}$ ; ${ displaystyle nu (W) = 4}$ -li ${ displaystyle n = 4}$ .
Li ${ displaystyle W}$ je ${ displaystyle q}$ -rule (tj. koalice vyhrává právě tehdy, pokud se skládá alespoň z ${ displaystyle q}$ jednotlivci) s ${ displaystyle n / 2$ , pak ${ displaystyle nu (W) = [n / (n-q)]}$ , kde ${ displaystyle [x]}$ je nejmenší celé číslo větší nebo rovno ${ displaystyle x}$ .

Příklady nanejvýš spočetně mnoho jednotlivců ( ${ displaystyle N = {1,2, ldots }}$ Kumabe a Mihara (2008) komplexně studují omezení, která různé vlastnosti (monotónnost, správnost, silnost, slabost a konečnost) jednoduchých her ukládají na jejich číslo Nakamura (níže uvedená tabulka „Možná čísla Nakamury“ shrnuje výsledky). Zejména ukazují, že jde o algoritmicky vypočítatelnou jednoduchou hru ^[10]bez hráče veta má číslo Nakamura větší než 3, pouze pokud je správné a neohrožené.^[6]

Možná čísla Nakamury^[11]
Typ	Konečné hry	Nekonečné hry
1111	3	3
1110	+∞	žádný
1101	≥3	≥3
1100	+∞	+∞
1011	2	2
1010	žádný	žádný
1001	2	2
1000	žádný	žádný
0111	2	2
0110	žádný	žádný
0101	≥2	≥2
0100	+∞	+∞
0011	2	2
0010	žádný	žádný
0001	2	2
0000	žádný	žádný

Nakamurova věta o acyklických preferencích

Nakamurova věta (Nakamura, 1979, Věty 2.3 a 2.5^[2]).Nechat ${ displaystyle W}$ být jednoduchá hra. Pak jádro ${ displaystyle C (W, p)}$ je neprázdné pro všechny profily ${ displaystyle p}$ acyklických preferencí právě tehdy ${ displaystyle X}$ je konečný a ${ displaystyle #X < nu (W)}$ .

Poznámky

Nakamurova věta je často citována v následující formě bez odkazu na jádro (např. Austen-Smith and Banks, 1999, Theorem 3.2^[4]): Vztah dominance ${ displaystyle succ _ {W} ^ {p}}$ je acyklický pro všechny profily ${ displaystyle p}$ acyklických preferencí právě tehdy ${ displaystyle #B < nu (W)}$ pro všechny konečné ${ displaystyle B subseteq X}$ (Nakamura 1979, Věta 3.1^[2]).
Výrok věty zůstane platný, pokud nahradíme „pro všechny profily ${ displaystyle p}$ z acyklický předvolby „od“ pro všechny profily ${ displaystyle p}$ z negativně tranzitivní předvolby „nebo“ pro všechny profily ${ displaystyle p}$ z lineárně uspořádáno (tj. přechodné a celkové) preference ".^[12]

Věta může být rozšířena na ${ displaystyle { mathcal {B}}}$ - jednoduché hry. Tady, kolekce ${ displaystyle { mathcal {B}}}$ koalic je libovolný Booleova algebra podskupin ${ displaystyle N}$ , tak jako ${ displaystyle sigma}$ -algebra z Lebesgue měřitelný sady. A ${ displaystyle { mathcal {B}}}$ -jednoduchá hra je podkolekce ${ displaystyle { mathcal {B}}}$ . Profily jsou vhodně omezeny na měřitelné profily: profil ${ displaystyle p}$ je měřitelný pokud pro všechny ${ displaystyle x, y v X}$ , my máme ${ displaystyle {i: x succ _ {i} ^ {p} y } v { mathcal {B}}}$ .^[3]

Varianta Nakamurovy věty o preferencích, která může obsahovat cykly

V této části zahodíme obvyklý předpoklad acyklických preferencí. Místo toho omezíme preference na ty, které mají v daném okamžiku maximální prvek denní program (sada příležitostí s níž je konfrontována skupina jednotlivců), podmnožina některé základní sady alternativ. (Toto slabé omezení preferencí může být z hlediska behaviorální ekonomie.) Proto je vhodné myslet na ${ displaystyle X}$ jako denní program zde. Alternativa ${ displaystyle x v X}$ je maximální prvek s ohledem na ${ displaystyle succ _ {i} ^ {p}}$ (tj., ${ displaystyle succ _ {i} ^ {p}}$ má maximální prvek ${ displaystyle x}$ ) pokud není ${ displaystyle y v X}$ takhle ${ displaystyle y succ _ {i} ^ {p} x}$ . Pokud je preference acyklická oproti základní sadě alternativ, pak má maximální prvek na každé konečný podmnožina ${ displaystyle X}$ .

Před uvedením varianty Nakamurovy věty představíme posílení jádra. Alternativa ${ displaystyle x}$ může být v jádru ${ displaystyle C (W, p)}$ i když existuje vítězná koalice jednotlivců ${ displaystyle i}$ s nimiž „nejsou spokojeni“ ${ displaystyle x}$ (tj. každý ${ displaystyle i}$ preferuje některé ${ displaystyle y_ {i}}$ na ${ displaystyle x}$ Následující řešení vylučuje takový ${ displaystyle x}$ :^[3]

Alternativní

{ displaystyle x v X}

je v jádro

{ displaystyle C ^ {+} (W, p)}

bez většinové nespokojenosti pokud neexistuje vítězná koalice

{ displaystyle S ve W}

takové, že pro všechny

{ displaystyle i v S}

,

{ displaystyle x}

je ne-maximální (některé existují

{ displaystyle y_ {i} v X}

uspokojující

{ displaystyle y_ {i} succ _ {i} ^ {p} x}

).

Je snadné to dokázat ${ displaystyle C ^ {+} (W, p)}$ záleží pouze na množině maximálních prvků každého jednotlivce a je zahrnuto do sjednocení těchto sad. Navíc pro každý profil ${ displaystyle p}$ , my máme ${ displaystyle C ^ {+} (W, p) subseteq C (W, p)}$ .

Varianta Nakamurovy věty (Kumabe and Mihara, 2011, Theorem 2^[3]).Nechat ${ displaystyle W}$ být jednoduchá hra. Pak jsou následující tři výroky rovnocenné:

${ displaystyle #X < nu (W)}$ ;
jádro ${ displaystyle C ^ {+} (W, p)}$ bez většinové nespokojenosti je pro všechny profily neprázdné ${ displaystyle p}$ preferencí, které mají maximální prvek;
jádro ${ displaystyle C (W, p)}$ je neprázdné pro všechny profily ${ displaystyle p}$ preferencí, které mají maximální prvek.

Poznámky

Na rozdíl od Nakamurovy původní věty ${ displaystyle X}$ být konečný je není nutnou podmínkou pro ${ displaystyle C ^ {+} (W, p)}$ nebo ${ displaystyle C (W, p)}$ být neprázdný pro všechny profily ${ displaystyle p}$ . I když program ${ displaystyle X}$ má nekonečně mnoho alternativ, existuje prvek v jádrech pro vhodné profily, pokud je nerovnost ${ displaystyle #X < nu (W)}$ je spokojen.
Výrok věty zůstane platný, pokud nahradíme „pro všechny profily ${ displaystyle p}$ preferencí, které mají u všech profilů maximální prvek „v příkazech 2 a 3 od“ ${ displaystyle p}$ preferencí, které mají přesně jeden maximální prvek „nebo“ pro všechny profily ${ displaystyle p}$ z lineárně uspořádáno preference, které mají maximální prvek “(Kumabe and Mihara, 2011, Proposition 1).
Stejně jako Nakamurova věta o acyklických preferencích lze tuto větu rozšířit na ${ displaystyle { mathcal {B}}}$ - jednoduché hry. Věta může být rozšířena ještě dále (1 a 2 jsou ekvivalentní; znamenají 3) na sbírky ${ displaystyle W ' subseteq { mathcal {B}}'}$ výherních sad rozšířením pojmu Nakamurova čísla.^[13]

Viz také

Poznámky

^ Suzuki, Mitsuo (1981). Teorie her a sociální volba: Vybrané příspěvky Kenjira Nakamury. Keiso Shuppan. Nakamura získal doktorát v oboru sociálního inženýrství v roce 1975 na Tokijském technologickém institutu.
^ ^A ^b ^C ^d Nakamura, K. (1979). "Vetaři v jednoduché hře s řadovými preferencemi". International Journal of Game Theory. 8: 55–61. doi:10.1007 / BF01763051.
^ ^A ^b ^C ^d Kumabe, M .; Mihara, H. R. (2011). „Teorie agregace preferencí bez acyklicity: jádro bez většinové nespokojenosti“ (PDF). Hry a ekonomické chování. 72: 187–201. arXiv:1107.0431. doi:10.1016 / j.geb.2010.06.008.
^ ^A ^b ^C ^d Austen-Smith, David; Banks, Jeffrey S. (1999). Pozitivní politická teorie I: Kolektivní preference. Ann Arbor: University of Michigan Press. ISBN 978-0-472-08721-1. Externí odkaz v | název = (Pomoc)
^ Nakamura originál věta je přímo relevantní pro třídu jednoduchý pravidla agregace preferencí, pravidla zcela popsaná jejich rodinou rozhodujících (vítězných) koalic. (Vzhledem k pravidlu agregace je koalice ${ displaystyle S}$ je rozhodující pokud kdykoli každý jednotlivec v ${ displaystyle S}$ preferuje ${ displaystyle x}$ na ${ displaystyle y}$ , pak také společnost.) Austen-Smith and Banks (1999),^[4]učebnice teorie sociální volby, která zdůrazňuje roli Nakamurova čísla, rozšiřuje Nakamurovo číslo na širší (a empiricky důležitou) třídu neutrální(tj. na označování alternativ nezáleží) amonotóní (li ${ displaystyle x}$ je společensky preferováno ${ displaystyle y}$ , pak zvýšení podpory pro ${ displaystyle x}$ přes ${ displaystyle y}$ zachovává tuto sociální preference) pravidla agregace (Theorem 3.3) a získá teorém (Theorem 3.4) podobný Nakamua.
^ ^A ^b Kumabe, M .; Mihara, H. R. (2008). „Čísla Nakamury pro vypočítatelné jednoduché hry“. Sociální volba a sociální péče. 31 (4): 621. arXiv:1107.0439. doi:10.1007 / s00355-008-0300-5.
^ Kirman, A .; Sondermann, D. (1972). „Arrowova věta, mnoho agentů a neviditelní diktátoři“. Journal of Economic Theory. 5: 267. doi:10.1016/0022-0531(72)90106-8.
^ Existují monotónní, správné a silné jednoduché hry bez hráče veta, které mají nekonečné číslo Nakamura. Nonprincipal ultrafiltr je příklad, který lze použít k definování agregačního pravidla (funkce sociální péče) splňujícího podmínky Arrowu, pokud existuje nekonečně mnoho jednotlivců.^[7]Vážnou nevýhodou neprincipitních ultrafiltrů pro tento účel je, že nejsou algoritmicky vypočítatelné.
^ Minimální prvek následující sady existuje, protože každá neprázdná sada řadové číslovky má nejmenší prvek.
^ Vidět část pro Riceovu větu pro definici vypočítatelné jednoduché hry. Zejména všechny konečné hry jsou vypočítatelné.
^ V každé položce jsou uvedena možná čísla Nakamury pro vypočítatelné jednoduché hry, za předpokladu, že ztrácí prázdná koalice. Šestnáct typů je definováno z hlediska čtyř vlastností: monotónnost, správnost, síla a neoslabení (nedostatek hráče veta). Například řádek odpovídající typu 1110 naznačuje, že mezi monotónními (1), správnými (1), silnými (1), slabými (0, protože nejsou slabé) vypočítatelné jednoduché hry, konečné mají číslo Nakamury rovné ${ displaystyle + infty}$ a nekonečné neexistují. Řádek odpovídající typu 1101 označuje, že existuje ${ displaystyle k geq 3}$ (a žádná ${ displaystyle k <3}$ ) je Nakamurovo číslo nějaké konečné (alternativně nekonečné) jednoduché hry tohoto typu. Uvědomte si, že mezi slabými jednoduchými hrami pouze typy 1101 a 0101 dosahují Nakamurova čísla většího než 3.
^ Směr „pokud“ je zřejmý, zatímco směr „pouze pokud“ je silnější než výrok věty uvedený výše (důkaz je v podstatě stejný). Tyto výsledky jsou často uváděny ve smyslu slabý preference (např. Austen-Smith and Banks, 1999, Theorem 3.2^[4]Definujte slabé preference ${ displaystyle succeq}$ podle ${ Displaystyle x succeq y iff y not succ x}$ . Pak ${ displaystyle succ}$ je asymetrický iff ${ displaystyle succeq}$ je kompletní; ${ displaystyle succ}$ je negativně tranzitivní iff ${ displaystyle succeq}$ je tranzitivní. ${ displaystyle succ}$ je celkový -li ${ displaystyle x neq y}$ naznačuje ${ displaystyle x succ y}$ nebo ${ displaystyle y succ x}$ .
^ Rámec rozlišuje algebru ${ displaystyle { mathcal {B}}}$ z koalice z větší sbírky ${ displaystyle { mathcal {B}} '}$ ze sad jednotlivců, kterým lze přiřadit status vítězství / prohry. Například, ${ displaystyle { mathcal {B}}}$ je algebra rekurzivní množiny a ${ displaystyle { mathcal {B}} '}$ je mříž z rekurzivně vyčíslitelné sady (Kumabe a Mihara, 2011, oddíl 4.2).

[1] Suzuki, Mitsuo (1981). Teorie her a sociální volba: Vybrané příspěvky Kenjira Nakamury. Keiso Shuppan. Nakamura získal doktorát v oboru sociálního inženýrství v roce 1975 na Tokijském technologickém institutu.

[nakamura79-2] A ^b ^C ^d Nakamura, K. (1979). "Vetaři v jednoduché hře s řadovými preferencemi". International Journal of Game Theory. 8: 55–61. doi:10.1007 / BF01763051.

[kumabe-m10geb-3] A ^b ^C ^d Kumabe, M .; Mihara, H. R. (2011). „Teorie agregace preferencí bez acyklicity: jádro bez většinové nespokojenosti“ (PDF). Hry a ekonomické chování. 72: 187–201. arXiv:1107.0431. doi:10.1016 / j.geb.2010.06.008.

[austensmith-b99-4] A ^b ^C ^d Austen-Smith, David; Banks, Jeffrey S. (1999). Pozitivní politická teorie I: Kolektivní preference. Ann Arbor: University of Michigan Press. ISBN 978-0-472-08721-1. Externí odkaz v | název = (Pomoc)

[5] Nakamura originál věta je přímo relevantní pro třídu jednoduchý pravidla agregace preferencí, pravidla zcela popsaná jejich rodinou rozhodujících (vítězných) koalic. (Vzhledem k pravidlu agregace je koalice ${ displaystyle S}$ je rozhodující pokud kdykoli každý jednotlivec v ${ displaystyle S}$ preferuje ${ displaystyle x}$ na ${ displaystyle y}$ , pak také společnost.) Austen-Smith and Banks (1999),^[4]učebnice teorie sociální volby, která zdůrazňuje roli Nakamurova čísla, rozšiřuje Nakamurovo číslo na širší (a empiricky důležitou) třídu neutrální(tj. na označování alternativ nezáleží) amonotóní (li ${ displaystyle x}$ je společensky preferováno ${ displaystyle y}$ , pak zvýšení podpory pro ${ displaystyle x}$ přes ${ displaystyle y}$ zachovává tuto sociální preference) pravidla agregace (Theorem 3.3) a získá teorém (Theorem 3.4) podobný Nakamua.

[kumabe-m08scw-6] A ^b Kumabe, M .; Mihara, H. R. (2008). „Čísla Nakamury pro vypočítatelné jednoduché hry“. Sociální volba a sociální péče. 31 (4): 621. arXiv:1107.0439. doi:10.1007 / s00355-008-0300-5.

[kirman-s72-7] Kirman, A .; Sondermann, D. (1972). „Arrowova věta, mnoho agentů a neviditelní diktátoři“. Journal of Economic Theory. 5: 267. doi:10.1016/0022-0531(72)90106-8.

[8] Existují monotónní, správné a silné jednoduché hry bez hráče veta, které mají nekonečné číslo Nakamura. Nonprincipal ultrafiltr je příklad, který lze použít k definování agregačního pravidla (funkce sociální péče) splňujícího podmínky Arrowu, pokud existuje nekonečně mnoho jednotlivců.^[7]Vážnou nevýhodou neprincipitních ultrafiltrů pro tento účel je, že nejsou algoritmicky vypočítatelné.

[9] Minimální prvek následující sady existuje, protože každá neprázdná sada řadové číslovky má nejmenší prvek.

[10] Vidět část pro Riceovu větu pro definici vypočítatelné jednoduché hry. Zejména všechny konečné hry jsou vypočítatelné.

[11] V každé položce jsou uvedena možná čísla Nakamury pro vypočítatelné jednoduché hry, za předpokladu, že ztrácí prázdná koalice. Šestnáct typů je definováno z hlediska čtyř vlastností: monotónnost, správnost, síla a neoslabení (nedostatek hráče veta). Například řádek odpovídající typu 1110 naznačuje, že mezi monotónními (1), správnými (1), silnými (1), slabými (0, protože nejsou slabé) vypočítatelné jednoduché hry, konečné mají číslo Nakamury rovné ${ displaystyle + infty}$ a nekonečné neexistují. Řádek odpovídající typu 1101 označuje, že existuje ${ displaystyle k geq 3}$ (a žádná ${ displaystyle k <3}$ ) je Nakamurovo číslo nějaké konečné (alternativně nekonečné) jednoduché hry tohoto typu. Uvědomte si, že mezi slabými jednoduchými hrami pouze typy 1101 a 0101 dosahují Nakamurova čísla většího než 3.

[12] Směr „pokud“ je zřejmý, zatímco směr „pouze pokud“ je silnější než výrok věty uvedený výše (důkaz je v podstatě stejný). Tyto výsledky jsou často uváděny ve smyslu slabý preference (např. Austen-Smith and Banks, 1999, Theorem 3.2^[4]Definujte slabé preference ${ displaystyle succeq}$ podle ${ Displaystyle x succeq y iff y not succ x}$ . Pak ${ displaystyle succ}$ je asymetrický iff ${ displaystyle succeq}$ je kompletní; ${ displaystyle succ}$ je negativně tranzitivní iff ${ displaystyle succeq}$ je tranzitivní. ${ displaystyle succ}$ je celkový -li ${ displaystyle x neq y}$ naznačuje ${ displaystyle x succ y}$ nebo ${ displaystyle y succ x}$ .

[13] Rámec rozlišuje algebru ${ displaystyle { mathcal {B}}}$ z koalice z větší sbírky ${ displaystyle { mathcal {B}} '}$ ze sad jednotlivců, kterým lze přiřadit status vítězství / prohry. Například, ${ displaystyle { mathcal {B}}}$ je algebra rekurzivní množiny a ${ displaystyle { mathcal {B}} '}$ je mříž z rekurzivně vyčíslitelné sady (Kumabe a Mihara, 2011, oddíl 4.2).

[1]

[2]

[3]

[5]

[6]

[8]

[9]

[4]

[10]

[11]

[12]

[13]

[7]