Vícerozměrná interpolace - Multivariate interpolation

v numerická analýza, vícerozměrná interpolace nebo prostorová interpolace je interpolace na funkce více než jedné proměnné.

Funkce, která má být interpolována, je v daných bodech známá ${displaystyle (x_ {i}, y_ {i}, z_ {i}, tečky)}$ a problém interpolace spočívá v získávání hodnot v libovolných bodech ${displaystyle (x, y, z, tečky)}$.

Vícerozměrná interpolace je zvláště důležitá v geostatistika, kde se používá k vytvoření a digitální výškový model ze sady bodů na zemském povrchu (například výšky bodů v a topografický průzkum nebo hloubky v a hydrografický průzkum ).

Pravidelná mřížka

Srovnání některých 1- a 2-dimenzionálních interpolací. Černé a červené / žluté / zelené / modré tečky odpovídají interpolovanému bodu a sousedním vzorkům. Jejich výšky nad zemí odpovídají jejich hodnotám.

Pro funkční hodnoty známé na a pravidelná mřížka (mají předem stanovené, ne nutně jednotné mezery), jsou k dispozici následující metody.

Libovolná dimenze

• Interpolace nejbližších sousedů
• Kriging
• Inverzní vážení vzdálenosti
• Přirozená interpolace sousedů
• Spline interpolace
• Interpolace radiální bázové funkce

2 rozměry

• Barnesova interpolace
• Bilineární interpolace
• Bikubická interpolace
• Bézierův povrch
• Lanczos převzorkování
• Delaunayova triangulace

Převzorkování bitmap je aplikace 2D vícerozměrné interpolace v zpracování obrazu.

Tři z metod použitých ve stejné datové sadě z 25 hodnot umístěných u černých teček. Barvy představují interpolované hodnoty.

Viz také Padova body, pro polynomiální interpolace ve dvou proměnných.

3 rozměry

• Trilineární interpolace
• Tricubická interpolace

Viz také převzorkování bitmap.

Tenzorové drážky pro N rozměry

Spline Catmull-Rom lze snadno zobecnit na libovolný počet rozměrů kubický Hermitův spline článek vám to připomene ${displaystyle mathrm {CINT} _ {x} (f _ {- 1}, f_ {0}, f_ {1}, f_ {2}) = mathbf {b} (x) cdot left (f _ {- 1} f_ { 0} f_ {1} f_ {2} ight)}$ pro nějaký 4-vektor ${displaystyle mathbf {b} (x)}$ což je funkce X sám, kde ${displaystyle f_ {j}}$ je hodnota na ${displaystyle j}$ funkce, která má být interpolována. Tuto aproximaci přepište na

${displaystyle mathrm {CR} (x) subseteq součet _ {i = -1} ^ {2} f_ {i} b_ {i} (x)}$

Tento vzorec lze přímo zobecnit na N rozměrů:^[1]

${displaystyle mathrm {CR} (x_ {1}, tečky, x_ {N}) v součtu _ {i_ {1}, tečky, i_ {N} = - 1} ^ {2} f_ {i_ {1} tečky i_ {N}} součet _ {j = 1} ^ {N} b_ {i_ {j}} (x_ {j})}$

Podobné zobecnění lze provést i pro jiné typy spline interpolací, včetně Hermitových splajnů. Pokud jde o účinnost, obecný vzorec lze ve skutečnosti vypočítat jako složení po sobě jdoucích ${displaystyle mathrm {CINT}}$- operace typu pro jakýkoli typ spline tenzorového produktu, jak je vysvětleno v tricubická interpolace Faktem však zůstává, že pokud existují ${displaystyle n}$ termíny v jednorozměrném ${displaystyle mathrm {CR}}$- jako shrnutí, pak bude ${displaystyle n ^ {N}}$ podmínky v ${displaystyle N}$-dimenzionální součet.

Nepravidelná mřížka (rozptýlené údaje)

Schémata definovaná pro rozptýlená data na nepravidelná mřížka by všichni měli pracovat na pravidelné mřížce, obvykle redukující na jinou známou metodu.

• Interpolace nejbližších sousedů
• Triangulovaná nepravidelná síť -na základě přirozený soused
• Triangulovaná nepravidelná síť -na základě lineární interpolace (typ po částech lineární funkce )
• Inverzní vážení vzdálenosti
• Kriging
• Gradientně vylepšený kriging (GEK)
• Tenká deska spline
• Polyharmonické spline (tenký spline je speciální případ polyharmonického spline)
• Radiální základní funkce (Polyharmonické splajny jsou speciální případ radiálních bázových funkcí s polynomiálními členy nízkého stupně)
• Nejmenší čtverce spline
• Přirozená interpolace sousedů

Poznámky

externí odkazy

• Příklad kódu C ++ pro několik 1D, 2D a 3D spline interpolací (včetně spline Catmull-Rom).
• Multidimenzionální Hermitova interpolace a aproximace Chandrajit Bajaja, Purdue University
• Knihovna Pythonu obsahující metody interpolace 3D a 4D spline.