Multilineární násobení - Multilinear multiplication

v multilineární algebra, použití mapy, která je tenzorový produkt lineárních map do a tenzor se nazývá a multilineární násobení.

Abstraktní definice

Nechat ${ displaystyle F}$ být polem charakteristické nuly, jako např ${ displaystyle mathbb {R}}$ nebo ${ displaystyle mathbb {C}}$.Nechat ${ displaystyle V_ {k}}$ být konečným trojrozměrným vektorovým prostorem ${ displaystyle F}$a nechte ${ displaystyle { mathcal {A}} ve V_ {1} otimes V_ {2} otimes cdots otimes V_ {d}}$ být jednoduchá objednávka tenzor tj. existují nějaké vektory ${ displaystyle mathbf {v} _ {k} ve V_ {k}}$ takhle ${ displaystyle { mathcal {A}} = mathbf {v} _ {1} otimes mathbf {v} _ {2} otimes cdots otimes mathbf {v} _ {d}}$. Pokud nám bude dána sbírka lineárních map ${ displaystyle A_ {k}: V_ {k} do W_ {k}}$, pak multilineární násobení z ${ displaystyle { mathcal {A}}}$ s ${ displaystyle (A_ {1}, A_ {2}, ldots, A_ {d})}$ je definováno^[1] jako akce na ${ displaystyle { mathcal {A}}}$ z tenzorový produkt těchto lineárních map,^[2] a to

Protože tenzorový produkt lineárních map je sama lineární mapa,^[2] a protože každý tenzor připouští a rozklad tenzorových řad,^[1] výše uvedený výraz se lineárně rozšíří na všechny tenzory. To znamená pro obecný tenzor ${ displaystyle { mathcal {A}} ve V_ {1} otimes V_ {2} otimes cdots otimes V_ {d}}$, multilineární násobení je

kde ${ textstyle { mathcal {A}} = součet _ {i = 1} ^ {r} mathbf {a} _ {i} ^ {1} otimes mathbf {a} _ {i} ^ {2 } otimes cdots otimes mathbf {a} _ {i} ^ {d}}$ s ${ displaystyle mathbf {a} _ {i} ^ {k} ve V_ {k}}$ je jedním z ${ displaystyle { mathcal {A}}}$rozklady tenzorových řad. Platnost výše uvedeného výrazu není omezena na rozklad tenzorové řady; ve skutečnosti platí pro jakýkoli výraz ${ displaystyle { mathcal {A}}}$ jako lineární kombinace čistých tenzorů, která vyplývá z univerzální vlastnost tenzorového produktu.

Je standardem používat následující zkratkové notace v literatuře pro multilineární multiplikace:

akde ${ displaystyle operatorname {Id} _ {V_ {k}}: V_ {k} do V_ {k}}$ je operátor identity.

Definice v souřadnicích

Ve výpočetní multilineární algebře je běžné pracovat v souřadnicích. Předpokládejme, že vnitřní produkt je fixní na ${ displaystyle V_ {k}}$ a nechte ${ displaystyle V_ {k} ^ {*}}$ označit duální vektorový prostor z ${ displaystyle V_ {k}}$. Nechat ${ displaystyle {e_ {1} ^ {k}, ldots, e_ {n_ {k}} ^ {k} }}$ být základem pro ${ displaystyle V_ {k}}$, nechť ${ displaystyle {(e_ {1} ^ {k}) ^ {*}, ldots, (e_ {n_ {k}} ^ {k}) ^ {*} }}$ být dvojí základ, a nechť ${ displaystyle {f_ {1} ^ {k}, ldots, f_ {m_ {k}} ^ {k} }}$ být základem pro ${ displaystyle W_ {k}}$. Lineární mapa ${ textstyle M_ {k} = součet _ {i = 1} ^ {m_ {k}} součet _ {j = 1} ^ {n_ {k}} m_ {i, j} ^ {(k)} f_ {i} ^ {k} otimes (e_ {j} ^ {k}) ^ {*}}$ je pak představována maticí ${ displaystyle { widehat {M}} _ {k} = [m_ {i, j} ^ {(k)}] v F ^ {m_ {k} krát n_ {k}}}$. Podobně s ohledem na standardní produkt tenzoru ${ displaystyle {e_ {j_ {1}} ^ {1} otimes e_ {j_ {2}} ^ {2} otimes cdots otimes e_ {j_ {d}} ^ {d} } _ { j_ {1}, j_ {2}, ldots, j_ {d}}}$, abstraktní tenzor

je reprezentováno vícerozměrným polem ${ displaystyle { widehat { mathcal {A}}} = [a_ {j_ {1}, j_ {2}, ldots, j_ {d}}] ve F ^ {n_ {1} krát n_ { 2} krát cdoty krát n_ {d}}}$ . Dodržujte to

kde ${ displaystyle mathbf {e} _ {j} ^ {k} ve F ^ {n_ {k}}}$ je jth standardní základní vektor ${ displaystyle F ^ {n_ {k}}}$ a tenzorový produkt vektorů je afinní Mapa Segre ${ displaystyle otimes: ( mathbf {v} ^ {(1)}, mathbf {v} ^ {(2)}, ldots, mathbf {v} ^ {(d)}) mapsto [v_ {i_ {1}} ^ {(1)} v_ {i_ {2}} ^ {(2)} cdots v_ {i_ {d}} ^ {(d)}] _ {i_ {1}, i_ { 2}, ldots, i_ {d}}}$. Z výše uvedených možností bází vyplývá, že multilineární násobení ${ displaystyle { mathcal {B}} = (M_ {1}, M_ {2}, ldots, M_ {d}) cdot { mathcal {A}}}$ se stává

Výsledný tenzor ${ displaystyle { widehat { mathcal {B}}}}$ žije v ${ displaystyle F ^ {m_ {1} krát m_ {2} krát cdots krát m_ {d}}}$.

Prveková definice

Z výše uvedeného výrazu se získá elementární definice multilineární násobení. Opravdu, protože ${ displaystyle { widehat { mathcal {B}}}}$ je vícerozměrné pole, může být vyjádřeno jako

kde ${ displaystyle b_ {j_ {1}, j_ {2}, ldots, j_ {d}} ve F}$ jsou koeficienty. Z výše uvedených vzorců pak vyplývá, že

kde ${ displaystyle delta _ {i, j}}$ je Kroneckerova delta. Proto, pokud ${ displaystyle { mathcal {B}} = (M_ {1}, M_ {2}, ldots, M_ {d}) cdot { mathcal {A}}}$, pak

Kde ${ displaystyle m_ {i, j} ^ {(k)}}$ jsou prvky ${ displaystyle { widehat {M}} _ {k}}$ jak je definováno výše.

Vlastnosti

Nechat ${ displaystyle { mathcal {A}} ve V_ {1} otimes V_ {2} otimes cdots otimes V_ {d}}$ být tenzorem řádu d nad tenzorovým součinem ${ displaystyle F}$-vektorové mezery.

Protože multilineární multiplikace je tenzorovým produktem lineárních map, máme následující multilineární vlastnost (v konstrukci mapy):^[1][2]

Multilineární násobení je a lineární mapa:^[1][2]

Z definice vyplývá, že složení dvou multilineárních multiplikací je také multilineární multiplikace:^[1][2]

kde ${ displaystyle M_ {k}: U_ {k} až W_ {k}}$ a ${ displaystyle K_ {k}: V_ {k} do U_ {k}}$ jsou lineární mapy.

Pozorujte konkrétně, že multilineární násobení v různých faktorech dojíždí,

-li ${ displaystyle k neq ell.}$

Výpočet

Faktor-k multilineární násobení ${ displaystyle M_ {k} cdot _ {k} { mathcal {A}}}$ lze vypočítat v souřadnicích následujícím způsobem. Nejprve si to všimněte

Další, protože

existuje bijektivní mapa s názvem faktor-k Standard zploštění,^[1] označeno ${ displaystyle ( cdot) _ {(k)}}$, který identifikuje ${ displaystyle M_ {k} cdot _ {k} { mathcal {A}}}$ s prvkem z druhého prostoru, a to

kde ${ displaystyle mathbf {e} _ {j}}$je jth standardní základní vektor ${ displaystyle F ^ {N_ {k}}}$, ${ displaystyle N_ {k} = n_ {1} cdots n_ {k-1} n_ {k + 1} cdots n_ {d}}$, a ${ displaystyle { mathcal {A}} _ {(k)} v F ^ {n_ {k}} mnohokrát F ^ {N_ {k}} simeq F ^ {n_ {k} krát N_ {k }}}$ je faktor-k zplošťovací matice z ${ displaystyle { mathcal {A}}}$ jejichž sloupce jsou faktor-k vektory ${ displaystyle [a_ {j_ {1}, ldots, j_ {k-1}, i, j_ {k + 1}, ldots, j_ {d}}] _ {i = 1} ^ {n_ {k }}}$ v určitém pořadí, určeno konkrétní volbou bijektivní mapy

Jinými slovy, multilineární násobení ${ displaystyle (M_ {1}, M_ {2}, ldots, M_ {d}) cdot { mathcal {A}}}$ lze vypočítat jako posloupnost d faktor-k multilineární multiplikace, které lze samy efektivně implementovat jako klasické maticové multiplikace.

Aplikace

The rozklad singulární hodnoty vyššího řádu (HOSVD) faktorizuje tenzor uvedený v souřadnicích ${ displaystyle { mathcal {A}} ve F ^ {n_ {1} krát n_ {2} krát cdots krát n_ {d}}}$ jako multilineární násobení ${ displaystyle { mathcal {A}} = (U_ {1}, U_ {2}, ldots, U_ {d}) cdot { mathcal {S}}}$, kde ${ displaystyle U_ {k} ve F ^ {n_ {k} krát n_ {k}}}$ jsou ortogonální matice a ${ displaystyle { mathcal {S}} ve F ^ {n_ {1} krát n_ {2} krát cdots krát n_ {d}}}$.

Další čtení