Pohyblivá jedinečnost - Movable singularity

Tento článek obsahuje a seznam doporučení, související čtení nebo externí odkazy, ale jeho zdroje zůstávají nejasné, protože mu chybí vložené citace. Prosím pomozte zlepšit tento článek představuji přesnější citace. (Ledna 2011) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

Řešení diferenciální rovnice ${displaystyle {frac {dy} {dx}} = {frac {1} {2y}}}$ s výhradou počátečních podmínek y (0) = 0, 1 a 2 (červená, zelená a modrá křivka). Pozice pohyblivé singularity na x = 0, -1 a -4 jsou označeny svislými čarami.

V teorii obyčejné diferenciální rovnice, a pohyblivá singularita je bod, kde je řešení rovnice chová se špatně a který je "pohyblivý" v tom smyslu, že jeho umístění závisí na počáteční podmínky diferenciální rovnice.^[1]Předpokládejme, že máme obyčejná diferenciální rovnice v komplexní doméně. Jakékoli dané řešení y(X) této rovnice může mít singularity v různých bodech (tj. v bodech, ve kterých není pravidelná.) holomorfní funkce, jako odbočné body, základní singularity nebo póly ). Jeden bod se říká pohyblivý pokud jeho umístění závisí na konkrétním řešení, které jsme zvolili, spíše než na tom, že je fixováno samotnou rovnicí.

Například rovnice

${displaystyle {frac {dy} {dx}} = {frac {1} {2y}}}$

má řešení ${displaystyle y = {sqrt {x-c}}}$ pro jakoukoli konstantu C. Toto řešení má větev na ${displaystyle x = c}$, a tak má rovnice pohyblivý větev (protože záleží na volbě řešení, tj. na volbě konstanty C).

Základním rysem lineárních obyčejných diferenciálních rovnic je, že singularity řešení se vyskytují pouze u singularit rovnice, a tak lineární rovnice nemají pohyblivé singularity.

Při pokusu o hledání „dobrých“ nelineárních diferenciálních rovnic by člověk rád viděl tuto vlastnost lineárních rovnic: žádat o žádné pohyblivé singularity je často příliš přísné, místo toho se často žádá o tzv. Painlevé majetek: 'any movable singularity should be a tyč', first used by Sofia Kovalevskaya.

Reference

• Einar Hille (1997), Obyčejné diferenciální rovnice ve složité doméněDover. ISBN  0-486-69620-0