U-pozice - U-rank

v teorie modelů, obor matematické logiky, U-pozice je jedním měřítkem složitosti (úplného) typu v kontextu stabilní teorie. Jako obvykle vyšší U-rank naznačuje menší omezení a existence U-rank pro všechny typy ve všech sadách je ekvivalentní důležité modelové teoretické podmínce: v tomto případě superstabilita.

Definice

U-rank je definován indukčně, jak je uvedeno níže, pro libovolné (úplné) p typu n přes libovolnou množinu A:

• U(str) ≥ 0
• Li δ je tedy limitní pořadové číslo U(str) ≥ δ přesně kdy U(str) ≥ α pro všechny α méně než δ
• Pro všechny α = β + 1, U(str) ≥ α přesně tam, kde je vidlicový nástavec q z str s U(q) ≥ β

Říkáme to U(str) = α když U(str) ≥ α ale ne U(str) ≥ α + 1.

Li U(str) ≥ α pro všechny řadové α, říkáme, že U-rank je neomezený, nebo U(str) = ∞.

Poznámka: U-rank je formálně označen ${ displaystyle U_ {n} (p)}$, kde p je opravdu p (x) a x je n-tice proměnných délky n. Tento dolní index je obvykle vynechán, pokud nemůže dojít k záměně.

Teorie hodnocení

U-pozice je monotónní ve své doméně. To je, předpokládejme str je úplný typ A a B je podmnožinouA. Pak pro q omezení str na B, U(q) ≥ U(str).

Pokud vezmeme B (výše), abychom byli prázdní, dostaneme následující: pokud existuje n-typ str, přes nějakou sadu parametrů, alespoň s hodnocením α, pak je nad prázdnou množinou hodnosti alespoň typα. Můžeme tedy definovat úplnou (stabilní) teorii T, ${ displaystyle U_ {n} (T) = sup {U_ {n} (p): p v S (T) }}$.

Poté získáme stručnou charakteristiku superstability; stabilní teorie T je superstabilní právě tehdy ${ displaystyle U_ {n} (T) < infty}$ pro každéhon.

Vlastnosti

• Jak je uvedeno výše, U-rank je ve své doméně monotónní.
• Li str má U-rank α, pak pro všechny β < α, je tu vidlicový nástavec q z str s U-rankβ.
• Li str je typ b přes A, existuje nějaká sada B prodlužování A, s q typ b přes B.
• Li str je unranked (to znamená, str má U-rank ∞), pak je tu vidlicová přípona q z str který je také nehodnocen.
• I při absenci superstability existuje pořadové číslo β což je maximální hodnocení všech hodnocených typů a pro všechny α < β, existuje typ str hodnosti α, a pokud je hodnost str je větší než β, pak to musí být ∞.

Příklady

• U(str)> 0 přesně, když str je nealgebraické.
• Li T je teorie algebraicky uzavřená pole (jakékoli pevné charakteristiky) ${ displaystyle U_ {1} (T) = 1}$. Dále, pokud A je libovolná sada parametrů a K. je pole generované A, pak typ 1 str přes A má hodnocení 1, pokud (všechny realizace) str jsou transcendentální K., a 0 jinak. Obecněji, an n-typ str přes A má U-rank k, stupeň transcendence (přes K.) jakékoli jeho realizace.

Reference

Pillay, Anand (2008) [1983]. Úvod do teorie stability. Doveru. p. 57. ISBN  978-0-486-46896-9.