Nasycený model - Saturated model
Tento článek obsahuje a seznam doporučení, související čtení nebo externí odkazy, ale její zdroje zůstávají nejasné, protože jí chybí vložené citace.Leden 2010) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony) ( |
v matematická logika, a to zejména v jeho podpoli teorie modelů, a nasycený model M je ten, který si uvědomuje tolik kompletní typy jak lze „rozumně očekávat“ vzhledem k jeho velikosti. Například an ultrapower model hyperrealy je -nasycené, což znamená, že každá sestupná vnořená sekvence vnitřní sady má neprázdnou křižovatku, viz Goldblatt (1998).
Definice
Nechat κ být konečný nebo nekonečný základní číslovka a M v některých model jazyk prvního řádu. Pak M je nazýván κ-nasycený pokud pro všechny podskupiny A ⊆ M z mohutnost méně než κ, model M uvědomuje si vše kompletní typy přes A. Model M je nazýván nasycený pokud je |Mnenasycené kde |M| označuje mohutnost M. To znamená, že realizuje všechny úplné typy přes sady parametrů velikosti menší než |M|. Podle některých autorů model M je nazýván spočetně nasycený Pokud to je -nasycený; to znamená, že realizuje všechny úplné typy přes spočetné sady parametrů. Podle ostatních je spočítatelně nasycený, pokud je -nasycený; tj. realizuje všechny úplné typy přes konečné sady parametrů.
Motivace
Tato sekce může být pro většinu čtenářů příliš technická na to, aby je pochopili. Prosím pomozte to vylepšit na aby to bylo srozumitelné pro neodborníky, aniž by byly odstraněny technické podrobnosti. (Leden 2010) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony) |
Zdánlivě intuitivnější představa - že jsou realizovány všechny úplné typy jazyka - se ukazuje jako příliš slabá (a je vhodně pojmenována slabá sytost, což je stejné jako 1-saturace). Rozdíl spočívá ve skutečnosti, že mnoho struktur obsahuje prvky, které nejsou definovatelné (například libovolné transcendentální prvek R podle definice slova nelze definovat v jazyce jazyka pole ). Stále však tvoří součást struktury, takže k popisu vztahů s nimi potřebujeme typy. Proto v naší definici typů povolujeme sady parametrů ze struktury. Tento argument nám umožňuje diskutovat o konkrétních vlastnostech modelu, které by nám jinak mohly chybět - například vázaný na a charakteristický rostoucí sekvence Cn lze vyjádřit jako realizaci typu {X ≥ Cn : n ∈ ω}, který používá nespočetně mnoho parametrů. Pokud posloupnost není definovatelná, nelze tuto skutečnost o struktuře popsat pomocí základního jazyka, takže slabě nasycená struktura nemusí sekvenci vázat, zatímco ω-nasycená struktura ano.
Důvod, proč požadujeme pouze sady parametrů, které jsou striktně menší než model, je triviální: bez tohoto omezení není nasycen žádný nekonečný model. Zvažte model Ma typ {X ≠ m : m ∈ M}. Každá konečná podmnožina tohoto typu je realizována v (nekonečném) modelu M, takže kompaktností je v souladu s M, ale není triviálně realizován. Jakákoli definice, která je všeobecně neuspokojená, je zbytečná; tedy omezení.
Příklady
Pro určité teorie a kardinality existují nasycené modely:
- (Q, <) - sada racionální čísla s jejich obvyklým uspořádáním - je nasycen. Intuitivně je to proto, že jakýkoli typ v souladu s teorie vyplývá z typu objednávky; to znamená, že pořadí, ve kterém proměnné přicházejí, vám řekne vše, co je třeba vědět o jejich roli ve struktuře.
- (R, <) - sada reálná čísla s jejich obvyklým objednáváním - je ne nasycený. Například vezměte typ (v jedné proměnné X), který obsahuje vzorec pro každé přirozené číslo n, stejně jako vzorec . Tento typ používá ω odlišné parametry od R. Každá konečná podmnožina typu je realizována na R nějakým skutečným X, takže kompaktností je typ v souladu se strukturou, ale není realizován, protože by to znamenalo horní hranici sekvence −1 /n to je méně než 0 (jeho nejmenší horní mez). Tím pádem (R, <) je ne ω1-nasycené a nenasycené. Nicméně, to je ω-nasycený, v podstatě ze stejného důvodu jako Q—Jakýkoli konečný typ je dán typem příkazu, který, pokud je konzistentní, je vždy realizován kvůli hustotě příkazu.
- Hustá zcela uspořádaná sada bez koncových bodů je a ηα soubor právě když je ℵα-nasycený.
- The spočítatelný náhodný graf, přičemž jediným nelogickým symbolem je vztah existence hrany, je také nasycen, protože jakýkoli úplný typ je izolován (implicitně) konečným podgrafem sestávajícím z proměnných a parametrů použitých k definování typu.
Obě teorie Q a lze prokázat teorii spočetného náhodného grafu ω-kategorické skrz metoda tam a zpět. To lze zobecnit následovně: jedinečný model mohutnosti κ spočítatelné κ-kategorická teorie je nasycená.
Tvrzení, že každý model má nasycenou elementární rozšíření není prokazatelný v ZFC. Ve skutečnosti je toto tvrzení ekvivalentní s[Citace je zapotřebí ] existence správné třídy kardinálů κ takhle κ<κ = κ. Druhá identita je ekvivalentní κ = λ+ = 2λ pro některé λnebo κ je silně nepřístupný.
Vztah k hlavním modelům
Pojem nasycený model je duální vůči pojmu hlavní model následujícím způsobem: let T být spočítatelnou teorií v jazyce prvního řádu (tj. soubor vzájemně konzistentních vět v tomto jazyce) a nechat P být vzorovým modelem T. Pak P připouští základní vložení do jakéhokoli jiného modelu T. Ekvivalentní představa pro nasycené modely je, že jakýkoli „přiměřeně malý“ model T je elementárně vloženo do nasyceného modelu, kde „přiměřeně malá“ znamená mohutnost, která není větší než u modelu, do kterého má být vložena. Jakýkoli nasycený model je také homogenní. Zatímco pro spočetné teorie existuje jedinečný primární model, nasycené modely jsou nutně specifické pro určitou mohutnost. Vzhledem k určitým teoreticko-teoretickým předpokladům existují pro libovolné teorie nasycené modely (i když s velmi velkou mohutností). Pro λ-stabilní teorie, nasycené modely mohutnosti λ existovat.
Reference
- Chang, C. C.; Keisler, H. J. Teorie modelů. Třetí edice. Studies in Logic and the Foundations of Mathematics, 73. North-Holland Publishing Co., Amsterdam, 1990. xvi + 650 pp. ISBN 0-444-88054-2
- R. Goldblatt (1998). Přednášky o hyperrealech. Úvod do nestandardní analýzy. Springer.
- Marker, David (2002). Teorie modelu: Úvod. New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-98760-6
- Poizat, Bruno; Trans: Klein, Moses (2000), Kurz teorie modelů, New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-98655-3
- Pytle, Gerald E. (1972), Teorie nasycených modelůW. A. Benjamin, Inc., Reading, Massachusetts, PAN 0398817