Metoda rozdělení momentů - Moment distribution method

The metoda rozdělení momentu je strukturální analýza metoda pro staticky neurčitý paprsky a rámy vyvinutý uživatelem Hardy Cross. To bylo vydáváno v roce 1930 v ASCE časopis.^[1] Metoda zohledňuje pouze ohybové účinky a ignoruje axiální a smykové účinky. Od třicátých let do počítače začala být široce používána při navrhování a analýze konstrukcí, nejrozšířenější metodou byla metoda distribuce momentů.

Úvod

V metodě distribuce momentů každý kloub struktury, která má být analyzována, je zafixována tak, aby se vytvořil momenty s pevným koncem. Poté se každý pevný spoj postupně uvolní a momenty s pevným koncem (které v době uvolnění nejsou v rovnováze) se rozdělí na sousední prvky, dokud rovnováha je dosaženo. Metodu rozdělení momentu z matematického hlediska lze demonstrovat jako proces řešení množiny simultánní rovnice pomocí opakování.

Metoda rozdělení momentů spadá do kategorie metoda posunutí statické analýzy.

Implementace

Aby bylo možné na analýzu struktury použít metodu rozdělení momentů, je třeba vzít v úvahu následující věci.

Opravené koncové momenty

Opravené koncové momenty jsou momenty produkované na koncích prutů vnějšími zatíženími.

Tuhost v ohybu

The tuhost v ohybu (EI / L) prutu je reprezentována jako ohybová tuhost prutu (součin prutu) modul pružnosti (E) a druhý okamžik oblasti (I)) děleno délkou (L) člena. V metodě rozdělení momentů nejsou potřebné konkrétní hodnoty, ale poměry ohybových tuhostí mezi všemi pruty.

Faktory distribuce

Když se kloub uvolní a začne se otáčet v nevyváženém okamžiku, vyvinou se odporové síly u každého prvku zarámovaného společně ve spoji. Přestože se celkový odpor rovná nevyváženému momentu, velikosti odporových sil vyvinutých u každého prutu se liší ohybovou tuhostí prutů. Distribuční faktory lze definovat jako proporce nevyvážených momentů nesených každým z členů. Z matematického hlediska distribuční faktor prutu ${displaystyle k}$ zarámovaný do kloubu ${displaystyle j}$ je uveden jako:

{displaystyle D_ {jk} = {frac {frac {E_ {k} I_ {k}} {L_ {k}}} {sum _ {i = 1} ^ {i = n} {frac {E_ {i} I_ {i}} {L_ {i}}}}}}

kde n je počet členů zarámovaných ve spoji.

Faktory přenosu

Když se kloub uvolní, nastane vyrovnávací moment, který vyvažuje nevyvážený moment. Vyrovnávací moment je zpočátku stejný jako moment s pevným koncem. Tento vyrovnávací moment se poté přenáší na druhý konec člena. Poměr přeneseného momentu na druhém konci k momentu s pevným koncem počátečního konce je faktorem přenosu.

Stanovení faktorů přenosu

Nechte jeden konec (konec A) pevného paprsku uvolnit a aplikovat moment ${displaystyle M_ {A}}$ zatímco druhý konec (konec B) zůstává pevný. To způsobí, že se konec A bude otáčet o úhel ${displaystyle heta _ {A}}$ . Jednou velikost ${displaystyle M_ {B}}$ rozvinutý na konci B, je faktor přenosu tohoto prvku dán jako poměr ${displaystyle M_ {B}}$ přes ${displaystyle M_ {A}}$ :

{displaystyle C_ {AB} = {frac {M_ {B}} {M_ {A}}}}

V případě nosníku délky L s konstantním průřezem, jehož ohybová tuhost je ${displaystyle EI}$ ,

{displaystyle M_ {A} = 4 {frac {EI} {L}} heta _ {A} +2 {frac {EI} {L}} heta _ {B} = 4 {frac {EI} {L}} heta _{A}}

{displaystyle M_ {B} = 2 {frac {EI} {L}} heta _ {A} +4 {frac {EI} {L}} heta _ {B} = 2 {frac {EI} {L}} heta _{A}}

proto faktor přenosu

{displaystyle C_ {AB} = {frac {M_ {B}} {M_ {A}}} = {frac {1} {2}}}

Podepsat konvenci

Jakmile je zvolena konvence znaménka, musí být zachována pro celou strukturu. Při výpočtech metody distribuce momentů se nepoužívá konvenční znaková konvence, i když výsledky lze vyjádřit konvenčním způsobem. V případě BMD je moment na levé straně ve směru hodinových ručiček a druhý ve směru proti směru hodinových ručiček, takže ohyb je kladný a nazývá se pokles.

Zarámovaná struktura

Zarámovanou strukturu s boční stranou nebo bez ní lze analyzovat pomocí metody rozložení momentu.

Příklad

Příklad

Je třeba analyzovat staticky neurčitý paprsek zobrazený na obrázku.

Paprsek se považuje za tři samostatné členy, AB, BC a CD, spojené pevnými spoji (momentově odolnými) spoji na B a C.

Členové AB, BC, CD mají stejné rozpětí ${displaystyle L = 10 m}$ .
Ohybové tuhosti jsou EI, 2EI, EI.
Koncentrované zatížení velikosti ${displaystyle P = 10 kN}$ jedná na dálku ${displaystyle a = 3 m}$ z podpory A.
Rovnoměrné zatížení intenzity ${displaystyle q = 1 kN / m}$ působí na BC.
Členské CD je naloženo v jeho středním rozpětí s koncentrovanou zátěží velikosti ${displaystyle P = 10 kN}$ .

V následujících výpočtech jsou momenty ve směru hodinových ručiček kladné.

Opravené koncové momenty

{displaystyle M_ {AB} ^ {f} = - {frac {Pb ^ {2} a} {L ^ {2}}} = - {frac {10 obrázků 7 ^ {2} obrázků 3} {10 ^ {2 }}} = - 14 700 kNcdot m}

{displaystyle M_ {BA} ^ {f} = {frac {Pa ^ {2} b} {L ^ {2}}} = {frac {10 obrázků 3 ^ {2} obrázky 7} {10 ^ {2}} } = + 6 300 kNcdot m}

{displaystyle M_ {BC} ^ {f} = - {frac {qL ^ {2}} {12}} = - {frac {1 imes 10 ^ {2}} {12}} = - 8,333 kNcdot m}

{displaystyle M_ {CB} ^ {f} = {frac {qL ^ {2}} {12}} = {frac {1 imes 10 ^ {2}} {12}} = + 8,333 kNcdot m}

{displaystyle M_ {CD} ^ {f} = - {frac {PL} {8}} = - {frac {10 imes 10} {8}} = - 12 500 kNcdot m}

{displaystyle M_ {DC} ^ {f} = {frac {PL} {8}} = {frac {10 imes 10} {8}} = + 12 500 kNcdot m}

Tuhost v ohybu a distribuční faktory

Ohybová tuhost prvků AB, BC a CD je ${displaystyle {frac {3EI} {L}}}$ , ${displaystyle {frac {4 imes 2EI} {L}}}$ a ${displaystyle {frac {4EI} {L}}}$ , resp^{[sporný – diskutovat]}. Proto vyjádření výsledků v opakování desetinného místa notace:

{displaystyle D_ {BA} = {frac {frac {3EI} {L}} {{frac {3EI} {L}} + {frac {4 imes 2EI} {L}}}} = {frac {frac {3} {10}} {{frac {3} {10}} + {frac {8} {10}}}} = {frac {3} {11}} = 0. (27)}

{displaystyle D_ {BC} = {frac {frac {4 imes 2EI} {L}} {{frac {3EI} {L}} + {frac {4 imes 2EI} {L}}}} = {frac {frac { 8} {10}} {{frac {3} {10}} + {frac {8} {10}}}} = {frac {8} {11}} = 0. (72)}

{displaystyle D_ {CB} = {frac {frac {4 imes 2EI} {L}} {{frac {4 imes 2EI} {L}} + {frac {4EI} {L}}}} = {frac {frac { 8} {10}} {{frac {8} {10}} + {frac {4} {10}}}} = {frac {8} {12}} = 0. (66)}

{displaystyle D_ {CD} = {frac {frac {4EI} {L}} {{frac {4 imes 2EI} {L}} + {frac {4EI} {L}}}} = {frac {frac {4} {10}} {{frac {8} {10}} + {frac {4} {10}}}} = {frac {4} {12}} = 0. (33)}

Distribuční faktory kloubů A a D jsou ${displaystyle D_ {AB} = 1}$ a ${displaystyle D_ {DC} = 0}$ .

Faktory přenosu

Faktory přenosu jsou ${displaystyle {frac {1} {2}}}$ , s výjimkou faktoru přenosu z D (pevná podpora) do C, který je nulový.

Momentové rozdělení


	Kloub	A		Kloub	B		Kloub	C		Kloub	D
Distrib. faktory	0	1		0.2727	0.7273		0.6667	0.3333		0	0
Momenty s pevným koncem		-14.700		+6.300	-8.333		+8.333	-12.500		+12.500
Krok 1		+14.700	→	+7.350
Krok 2				-1.450	-3.867	→	-1.934
Krok 3					+2.034	←	+4.067	+2.034	→	+1.017
Krok 4				-0.555	-1.479	→	-0.739
Krok 5					+0.246	←	+0.493	+0.246	→	+0.123
Krok 6				-0.067	-0.179	→	-0.090
Krok 7					+0.030	←	+0.060	+0.030	→	+0.015
Krok 8				-0.008	-0.022	→	-0.011
Krok 9					+0.004	←	+0.007	+0.004	→	+0.002
Krok 10				-0.001	-0.003
Součet okamžiků		0		+11.569	-11.569		+10.186	-10.186		+13.657

Čísla v šedé barvě jsou vyvážené momenty; šipky ( → / ← ) představují přenos momentu z jednoho konce na druhý konec prutu. * Krok 1: Jakmile se uvolní spoj A, vyrovnávací moment o velikosti rovnající se pevnému koncovému momentu ${displaystyle M_ {AB} ^ {f} = 14 700 mathrm {, kN, m}}$ se vyvíjí a přenáší z kloubu A do kloubu B. * Krok 2: Nevyvážený moment ve kloubu B je nyní součtem pevných koncových momentů ${displaystyle M_ {BA} ^ {f}}$ , ${displaystyle M_ {BC} ^ {f}}$ a přenosový moment ze kloubu A. Tento nevyvážený moment je distribuován mezi členy BA a BC v souladu s distribučními faktory ${displaystyle D_ {BA} = 0,2727}$ a ${displaystyle D_ {BC} = 0,7273}$ . Krok 2 končí přenosem vyváženého momentu ${displaystyle M_ {BC} = 3,867mathrm {, kN, m}}$ ke spoji C. Spoj A je opěrná kladka, která nemá žádné rotační omezení, takže přenos momentu ze spoje B do spoje A je nulový. * Krok 3: Nevyvážený moment ve spoji C je nyní součtem pevných koncových momentů ${displaystyle M_ {CB} ^ {f}}$ , ${displaystyle M_ {CD} ^ {f}}$ a přenosový moment ze kloubu B. Stejně jako v předchozím kroku je tento nevyvážený moment distribuován každému členu a poté přenesen do kloubu D a zpět do kloubu B. Spoj D je pevná podpora a přenášené momenty do tohoto kloubu budou nebude distribuován ani přenesen do kloubu C. * Krok 4: Spoj B má stále vyvážený moment, který byl přenesen ze kloubu C v kroku 3. Spoj B se znovu uvolní, aby se indukovalo rozdělení momentů a aby se dosáhlo rovnováhy. * Kroky 5 - 10: Klouby se uvolní a znovu zafixují, dokud nebude mít každý spoj nevyvážené momenty velikosti nula nebo zanedbatelně malé v požadované přesnosti. Aritmetickým součtem všech momentů v každém příslušném sloupci získáte konečné hodnoty momentů.

Výsledek

Okamžiky ve spojích určené metodou rozdělení momentů

{displaystyle M_ {A} = 0 kNcdot m}

{displaystyle M_ {B} = - 11 569 kNcdot m}

{displaystyle M_ {C} = - 10,186 kNcdot m}

{displaystyle M_ {D} = - 13 657 kNcdot m}

Zde se používá konvenční znaková konvence, tj. Kladné momenty způsobují prodloužení ve spodní části nosníku.

Pro účely srovnání jsou výsledky generované pomocí a maticová metoda. Všimněte si, že ve výše uvedené analýze byl iterační proces proveden s přesností> 0,01. Skutečnost, že výsledky maticové analýzy a výsledky analýzy momentového rozdělení odpovídají přesnosti 0,001, je pouhá náhoda.

Okamžiky ve spojích určené maticovou metodou

{displaystyle M_ {A} = 0 kNcdot m}

{displaystyle M_ {B} = - 11 569 kNcdot m}

{displaystyle M_ {C} = - 10,186 kNcdot m}

{displaystyle M_ {D} = - 13 657 kNcdot m}

Pamatujte, že metoda rozdělení momentů určuje pouze momenty ve spojích. Vypracování úplných diagramů ohybových momentů vyžaduje další výpočty s využitím stanovených spojovacích momentů a rovnováhy vnitřního řezu.

Výsledek metodou posunutí

Protože metoda Hardy Cross poskytuje pouze přibližné výsledky, s chybou nepřímo úměrnou počtu iterací, je důležité^{[Citace je zapotřebí ]} mít představu o tom, jak přesná může být tato metoda. S ohledem na to je zde výsledek získaný pomocí přesné metody: metoda posunutí

Za tímto účelem rovnice metody posunutí předpokládá následující formu:

${displaystyle left [Kight] left {dight} = left {-fight}}$

U struktury popsané v tomto příkladu je matice tuhosti následující:

${displaystyle left [Kight] = {egin {bmatrix} 3 {frac {EI} {L}} + 4 {frac {2EI} {L}} & 2 {frac {2EI} {L}} 2 {frac {2EI} {L}} a 4 {frac {2EI} {L}} + 4 {frac {EI} {L}} konec {bmatrix}}}$

Ekvivalentní vektor uzlové síly:

${displaystyle left {fight} ^ {T} = left {-P {frac {ab (L + a)} {2L ^ {2}}} + q {frac {L ^ {2}} {12}}, - q {frac {L ^ {2}} {12}} + P {frac {L} {8}} ight}}$

Nahrazení výše uvedených hodnot v rovnici a její řešení pro ${displaystyle left {dight}}$ vede k následujícímu výsledku:

${displaystyle left {dight} ^ {T} = left {6.9368; -5.7845ight}}$

Okamžiky vyhodnocené v uzlu B jsou tedy následující:

${displaystyle M_ {BA} = 3 {frac {EI} {L}} d_ {1} -P {frac {ab (L + a)} {2L ^ {2}}} = - 11,569}$

${displaystyle M_ {BC} = - 4 {frac {2EI} {L}} d_ {1} -2 {frac {2EI} {L}} d_ {2} -q {frac {L ^ {2}} {12 }} = - 11 569}$

Momenty vyhodnocené v uzlu C jsou následující:

${displaystyle M_ {CB} = 2 {frac {2EI} {L}} d_ {1} +4 {frac {2EI} {L}} d_ {2} -q {frac {L ^ {2}} {12} } = - 10,186}$

${displaystyle M_ {CD} = - 4 {frac {EI} {L}} d_ {2} -P {frac {L} {8}} = - 10,186}$

Viz také

Poznámky

^ Kříž, Hardy (1930). "Analýza spojitých rámců distribucí momentů s pevným koncem". Sborník americké společnosti stavebních inženýrů. ASCE. 919–928.

Reference

Błaszkowiak, Stanisław; Zbigniew Kączkowski (1966). Iterativní metody ve strukturní analýze. Pergamon Press, Państwowe Wydawnictwo Naukowe.
Norris, Charles Head; John Benson Wilbur; Senol Utku (1976). Základní strukturální analýza (3. vyd.). McGraw-Hill. str.327–345. ISBN 0-07-047256-4.
McCormac, Jack C .; Nelson, James K. Jr. (1997). Strukturální analýza: Klasický a maticový přístup (2. vyd.). Addison-Wesley. str.488–538. ISBN 0-673-99753-7.
Yang, Chang-hyeon (10.01.2001). Strukturální analýza (v korejštině) (4. vydání). Soul: Vydavatelé Cheong Moon Gak. 391–422. ISBN 89-7088-709-1. Archivovány od originál dne 08.10.2007. Citováno 2007-08-31.
Volokh, K.Y. (2002). "Na základech metody Hardy Cross". International Journal of Solids and Structures. International Journal of Solids and Structures, svazek 39, číslo 16, srpen 2002, strany 4197-4200. 39 (16): 4197–4200. doi:10.1016 / S0020-7683 (02) 00345-1.

[asce1-1] Kříž, Hardy (1930). "Analýza spojitých rámců distribucí momentů s pevným koncem". Sborník americké společnosti stavebních inženýrů. ASCE. 919–928.

[1]