Metoda vychýlení svahu - Slope deflection method

The metoda vychýlení svahu je strukturální analýza metoda pro paprsky a rámy představil v roce 1914 George A. Maney.^[1] Metoda vychýlení svahu byla široce používána po více než deset let až do metoda rozdělení momentu bylo vyvinuto. V knize „The Theory and Practice of Modern Framed Structures“, kterou napsali JB Johnson, CW Bryan a FE Turneaure, se uvádí, že tato metoda byla poprvé vyvinuta, „profesorem Otto Mohrem v Německu a později vyvinut nezávisle profesorem GA Maney ". Podle této knihy uvedl profesor Otto Mohr tuto metodu poprvé ve své knize „Hodnocení vazníků s tuhými uzlovými spoji“ nebo „Die Berechnung der Fachwerke mit Starren Knotenverbindungen“.

Úvod

Formováním rovnice výchylky svahu a použitím podmínek rovnováhy kloubu a smyku se vypočítají úhly rotace (nebo úhly sklonu). Když je nahradíme zpět do rovnic výchylky sklonu, snadno se určí koncové momenty prutu. Deformace prutu je způsobena ohybovým momentem.

Rovnice výchylky svahu

Rovnice výchylky sklonu lze také zapsat pomocí faktoru tuhosti ${ displaystyle K = { frac {I_ {ab}} {L_ {ab}}}}$ a rotace akordů ${ displaystyle psi = { frac { Delta} {L_ {ab}}}}$:

Odvození rovnic výchylky sklonu

Když jednoduchý paprsek délky ${ displaystyle L_ {ab}}$ a ohybová tuhost ${ displaystyle E_ {ab} I_ {ab}}$ je na každém konci zatížen momenty ve směru hodinových ručiček ${ displaystyle M_ {ab}}$ a ${ displaystyle M_ {ba}}$, rotace konců prutů probíhají ve stejném směru. Tyto úhly otáčení lze vypočítat pomocí metoda jednotkové síly nebo Darcyho zákon.

${ displaystyle theta _ {a} - { frac { Delta} {L_ {ab}}} = { frac {L_ {ab}} {3E_ {ab} I_ {ab}}} M_ {ab} - { frac {L_ {ab}} {6E_ {ab} I_ {ab}}} M_ {ba}}$

${ displaystyle theta _ {b} - { frac { Delta} {L_ {ab}}} = - { frac {L_ {ab}} {6E_ {ab} I_ {ab}}} M_ {ab} + { frac {L_ {ab}} {3E_ {ab} I_ {ab}}} M_ {ba}}$

Přeuspořádáním těchto rovnic jsou odvozeny rovnice výchylky sklonu.

Rovnovážné podmínky

Společná rovnováha

Podmínky rovnováhy kloubů znamenají, že každý kloub se stupněm volnosti by neměl mít nevyvážené momenty, tj. Být v rovnováze. Proto,

${ displaystyle Sigma left (M ^ {f} + M_ {member} right) = Sigma M_ {joint}}$

Tady, ${ displaystyle M_ {člen}}$ jsou momenty konce člena, ${ displaystyle M ^ {f}}$ jsou pevné koncové momenty, a ${ displaystyle M_ {joint}}$ jsou vnější momenty přímo aplikované na spoj.

Smyková rovnováha

Pokud v rámu dochází k rotaci akordů, je třeba vzít v úvahu další rovnovážné podmínky, zejména podmínky smykové rovnováhy.

Příklad

Příklad

Je třeba analyzovat staticky neurčitý paprsek zobrazený na obrázku.

• Členové AB, BC, CD mají stejnou délku ${ displaystyle L = 10 m}$.
• Ohybové tuhosti jsou EI, 2EI, EI.
• Koncentrované zatížení velikosti ${ displaystyle P = 10 kN}$ jedná na dálku ${ displaystyle a = 3 m}$ z podpory A.
• Rovnoměrné zatížení intenzity ${ displaystyle q = 1 kN / m}$ působí na BC.
• Členské CD je naloženo v jeho středním rozpětí s koncentrovanou zátěží velikosti ${ displaystyle P = 10 kN}$.

V následujících výpočtech jsou momenty a rotace ve směru hodinových ručiček kladné.

Stupně svobody

Úhly otáčení ${ displaystyle theta _ {A}}$, ${ displaystyle theta _ {B}}$, ${ displaystyle theta _ {C}}$, klouby A, B, C jsou brány jako neznámé. Neexistují žádné rotace akordů kvůli jiným příčinám, včetně vypořádání podpory.

Opravené koncové momenty

Pevné koncové momenty jsou:

${ displaystyle M_ {AB} ^ {f} = - { frac {Pab ^ {2}} {L ^ {2}}} = - { frac {10 krát 3 krát 7 ^ {2}} { 10 ^ {2}}} = - 14,7 mathrm {, kN , m}}$

${ displaystyle M_ {BA} ^ {f} = { frac {Pa ^ {2} b} {L ^ {2}}} = { frac {10 krát 3 ^ {2} krát 7} {10 ^ {2}}} = 6,3 mathrm {, kN , m}}$

${ displaystyle M_ {BC} ^ {f} = - { frac {qL ^ {2}} {12}} = - { frac {1 krát 10 ^ {2}} {12}} = - 8,333 mathrm {, kN , m}}$

${ displaystyle M_ {CB} ^ {f} = { frac {qL ^ {2}} {12}} = { frac {1 krát 10 ^ {2}} {12}} = 8,333 mathrm { , kN , m}}$

${ displaystyle M_ {CD} ^ {f} = - { frac {PL} {8}} = - { frac {10 krát 10} {8}} = - 12,5 mathrm {, kN , m }}$

${ displaystyle M_ {DC} ^ {f} = { frac {PL} {8}} = { frac {10 krát 10} {8}} = 12,5 mathrm {, kN , m}}$

Rovnice výchylky svahu

Rovnice výchylky sklonu jsou konstruovány následovně:

${ displaystyle M_ {AB} = { frac {EI} {L}} vlevo (4 theta _ {A} +2 theta _ {B} vpravo) = { frac {4EI theta _ {A } + 2EI theta _ {B}} {L}}}$

${ displaystyle M_ {BA} = { frac {EI} {L}} vlevo (2 theta _ {A} +4 theta _ {B} doprava) = { frac {2EI theta _ {A } + 4EI theta _ {B}} {L}}}$

${ displaystyle M_ {BC} = { frac {2EI} {L}} vlevo (4 theta _ {B} +2 theta _ {C} right) = { frac {8EI theta _ {B } + 4EI theta _ {C}} {L}}}$

${ displaystyle M_ {CB} = { frac {2EI} {L}} vlevo (2 theta _ {B} +4 theta _ {C} doprava) = { frac {4EI theta _ {B } + 8EI theta _ {C}} {L}}}$

${ displaystyle M_ {CD} = { frac {EI} {L}} vlevo (4 theta _ {C} vpravo) = { frac {4EI theta _ {C}} {L}}}$

${ displaystyle M_ {DC} = { frac {EI} {L}} vlevo (2 theta _ {C} vpravo) = { frac {2EI theta _ {C}} {L}}}$

Společné rovnovážné rovnice

Klouby A, B, C by měly stačit k dosažení rovnovážného stavu. Proto

${ displaystyle Sigma M_ {A} = M_ {AB} + M_ {AB} ^ {f} = 0,4EI theta _ {A} + 0,2EI theta _ {B} -14,7 = 0}$

${ displaystyle Sigma M_ {B} = M_ {BA} + M_ {BA} ^ {f} + M_ {BC} + M_ {BC} ^ {f} = 0,2EI theta _ {A} + 1,2EI theta _ {B} + 0,4EI theta _ {C} -2,033 = 0}$

${ displaystyle Sigma M_ {C} = M_ {CB} + M_ {CB} ^ {f} + M_ {CD} + M_ {CD} ^ {f} = 0,4EI theta _ {B} + 1,2EI theta _ {C} -4.167 = 0}$

Úhly otáčení

Úhly rotace se počítají ze simultánních rovnic výše.

${ displaystyle theta _ {A} = { frac {40.219} {EI}}}$

${ displaystyle theta _ {B} = { frac {-6.937} {EI}}}$

${ displaystyle theta _ {C} = { frac {5.785} {EI}}}$

Momenty konce členů

Substituce těchto hodnot zpět do rovnic výchylky sklonu poskytuje koncové momenty prutu (v kNm):

${ displaystyle M_ {AB} = 0,4 krát 40,219 + 0,2 krát doleva (-6,937 doprava) -14,7 = 0}$

${ displaystyle M_ {BA} = 0,2 krát 40,219 + 0,4 krát doleva (-6,937 doprava) + 6,3 = 11,57}$

${ displaystyle M_ {BC} = 0,8 krát doleva (-6,937 doprava) +0,4 krát 5,785-8,333 = -11,57}$

${ displaystyle M_ {CB} = 0,4 krát doleva (-6,937 doprava) +0,8 krát 5,785 + 8,333 = 10,19}$

${ displaystyle M_ {CD} = 0,4 krát -5,785-12,5 = -10,19}$

${ displaystyle M_ {DC} = 0,2 krát -5,785 + 12,5 = 13,66}$

Viz také

• Teorie paprsku

Poznámky

Reference

• Norris, Charles Head; John Benson Wilbur; Senol Utku (1976). Základní strukturální analýza (3. vyd.). McGraw-Hill. str.313–326. ISBN  0-07-047256-4.
• McCormac, Jack C .; Nelson, James K. Jr. (1997). Strukturální analýza: Klasický a maticový přístup (2. vyd.). Addison-Wesley. str.430–451. ISBN  0-673-99753-7.
• Yang, Chang-hyeon (10.01.2001). Strukturální analýza (v korejštině) (4. vydání). Soul: Vydavatelé Cheong Moon Gak. 357–389. ISBN  89-7088-709-1. Archivovány od originál dne 08.10.2007.