Mazur potrubí - Mazur manifold

v diferenciální topologie, obor matematiky, a Mazur potrubí je smluvní, kompaktní, hladký čtyřrozměrný potrubí (s hranicí), což není difeomorfní na standard 4 míče. Hranice potrubí Mazur je nutně a homologie 3-koule.

Často termín Mazur potrubí je omezeno na speciální třídu výše uvedené definice: 4-potrubí, která mají a zvládnout rozklad obsahující přesně tři popisovače: jeden popisovač 0, jeden popisovač 1 a jeden popisovač 2. To je ekvivalentní tomu, že se říká, že potrubí musí mít formu ${ displaystyle S ^ {1} krát D ^ {3}}$ spojení 2 rukojetí. Pozorování Mazura ukazuje, že dvojnásobek takových potrubí je difeomorfní na ${ displaystyle S ^ {4}}$ se standardní hladkou strukturou.

Dějiny

Barry Mazur^[1] a Valentin Poenaru^[2] objevil tato potrubí současně. Akbulut a Kirby ukázali, že Brieskornské homologické koule ${ displaystyle Sigma (2,5,7)}$, ${ displaystyle Sigma (3,4,5)}$ a ${ displaystyle Sigma (2,3,13)}$ jsou hranice potrubí Mazur.^[3] Tyto výsledky byly později zobecněny na další kontrakční potrubí od Cassona, Harera a Sterna.^[4][5][6] Jeden z potrubí Mazur je také příkladem Akbulut korek které lze použít ke konstrukci exotických 4-variet.^[7]

Mazur potrubí byly použity Fintushel a Stern^[8] postavit exotické akce skupiny řádu 2 na 4 koule.

Mazurův objev byl překvapivý z několika důvodů:

• Každá hladká sféra homologie v dimenzi ${ displaystyle n geq 5}$ je homeomorfní na hranici kompaktního stahovatelného hladkého potrubí. To vyplývá z práce Kervaire^[9] a h-cobordism teorém. Mírně silněji je každá hladká homologická 4-koule odlišná od hranice kompaktního stahovatelného hladkého 5-potrubí (také podle práce Kervaire). Ale ne každá 3-sféra homologie je difeomorfní s hranicí kontraktovatelného kompaktního hladkého 4-potrubí. Například Poincarého homologie koule neváže takový 4-potrubí, protože Rochlinův invariant poskytuje překážku.

• The Věta o h-cobordismu to znamená, alespoň v rozměrech ${ displaystyle n geq 6}$ existuje jedinečný kontrakt ${ displaystyle n}$-manifold s jednoduše spojenou hranicí, kde jedinečnost je až do difeomorfismu. Toto potrubí je jednotková koule ${ displaystyle D ^ {n}}$. Je to otevřený problém, zda nebo ne ${ displaystyle D ^ {5}}$ připouští exotickou hladkou strukturu, ale podle věty o h-cobordismu se taková exotická hladká struktura, pokud existuje, musí omezit na exotickou hladkou strukturu na ${ displaystyle S ^ {4}}$. Jestli ano nebo ne ${ displaystyle S ^ {4}}$ připouští, že exotická hladká struktura je ekvivalentní dalšímu otevřenému problému, hladké Poincarého domněnka v dimenzi čtyři. Jestli ano nebo ne ${ displaystyle D ^ {4}}$ připouští, že exotická hladká struktura je dalším otevřeným problémem, úzce spojeným s Schoenflies problém v dimenzi čtyři.

Mazurovo pozorování

Nechat ${ displaystyle M}$ být potrubí Mazur, které je konstruováno jako ${ displaystyle S ^ {1} krát D ^ {3}}$ spojení 2 rukojetí. Zde je náčrt Mazurova argumentu, že dvojnásobek takového potrubí Mazur je ${ displaystyle S ^ {4}}$. ${ displaystyle M krát [0,1]}$ je kontraktibilní 5-potrubí vyrobené jako ${ displaystyle S ^ {1} krát D ^ {4}}$ spojení 2 rukojetí. 2-rukojeť lze rozuzlit, protože připojovací mapa je zarámovaný uzel ve 4-potrubí ${ displaystyle S ^ {1} krát S ^ {3}}$. Tak ${ displaystyle S ^ {1} krát D ^ {4}}$ spojení dvou rukojeti je odlišné ${ displaystyle D ^ {5}}$. Hranice ${ displaystyle D ^ {5}}$ je ${ displaystyle S ^ {4}}$. Ale hranice ${ displaystyle M krát [0,1]}$ je dvojnásobek z ${ displaystyle M}$.

Reference

• Rolfsen, Dale (1990), Uzly a odkazy. Opravený dotisk originálu z roku 1976., Matematická přednášková série, 7, Houston, TX: Publish or Perish, Inc., str. 355–357, kapitola 11E, ISBN  0-914098-16-0, PAN  1277811