Mardensova věta - Mardens theorem - Wikipedia

Trojúhelník a jeho Steinerova inellipse. Nuly p(z) jsou černé tečky a nuly p '(z) jsou červené tečky). Střední zelená tečka je nulap"(z). Mardenova věta říká, že červené tečky jsou ohniska elipsy.

v matematika, Mardenova věta, pojmenovaný po Morrisovi Mardenovi, ale prokázaný asi o 100 let dříve Jörgem Siebeckem, dává geometrický vztah mezi nulami třetího stupně polynomiální s komplex koeficienty a jeho nuly derivát. Viz také geometrické vlastnosti kořenů polynomu.

Prohlášení

Kubický polynom má tři nuly v rovině komplexního čísla, které obecně tvoří trojúhelník, a Gauss – Lucasova věta uvádí, že kořeny jeho derivace leží v tomto trojúhelníku. Mardenova věta přesněji uvádí jejich umístění v tomto trojúhelníku:

Předpokládejme nuly z1, z2, a z3 polynomu třetího stupně p(z) jsou nekolineární. Ve hře je jedinečná elipsa trojúhelník s vrcholy z1, z2, z3 a tečna do stran na jejich střední body: Steiner inellipse. The ohniska této elipsy jsou nuly derivace p '(z).

Další vztahy mezi kořenovými umístěními a Steinerovou inellipse

Podle Gauss – Lucasova věta, kořen dvojité derivace p"(z) musí být průměr dvou ohnisek, což je střed elipsy a těžiště Ve zvláštním případě, že je trojúhelník rovnostranný (jako je tomu například u polynomu) p(z) = z3 − 1) vepsaná elipsa degeneruje do kruhu a derivacep má dvojitý kořen ve středu kruhu. Naopak, pokud má derivace dvojitý kořen, pak musí být trojúhelník rovnostranný (Kalman 2008a ).

Zobecnění

Obecnější verze věty, kvůli Linfield (1920), platí pro polynomy p(z) = (z − A)i (z − b)j (z − C)k jehož stupeň i + j + k může být vyšší než tři, ale mají pouze tři kořeny A, b, a C. U takových polynomů lze kořeny derivace nalézt na více kořenech daného polynomu (kořeny, jejichž exponent je větší než jeden) a na ohniskách elipsy, jejíž body tečnosti k trojúhelníku rozdělují jeho strany v poměrech i : j, j : k, a k : i.

Další zobecnění (Farnost (2006) ) je n-gons: některé n-gony mají vnitřní elipsu, která je tečná ke každé straně ve středu strany. Stále platí Mardenova věta: ohniska této středo-tečné inellipse jsou nuly derivace polynomu, jehož nuly jsou vrcholy n-gon.

Dějiny

Jörg Siebeck objevil tuto větu 81 let předtím, než o ní psal Marden. Nicméně, Dan Kalman s názvem jeho Americký matematický měsíčník papír „Mardenova věta“, protože, jak píše, „říkám jí Mardenova věta, protože jsem ji poprvé četl v úžasné knize M. Mardenové“.

Marden (1945, 1966 ) připisuje to, co je nyní známé jako Mardenova věta Siebeck (1864) a cituje devět článků, které obsahovaly verzi věty. Dan Kalman vyhrál v roce 2009 Lester R. Ford Cena Mathematical Association of America za jeho příspěvek z roku 2008 v Americký matematický měsíčník popisující větu.

Krátký a základní důkaz Mardenovy věty je vysvětlen v řešení cvičení v knize Fritze Carlsona „Geometri“ (ve švédštině, 1943).[1]

Viz také

Reference

  1. ^ „Carlsonův důkaz Mardenovy věty“ (PDF).