Macaulaysova metoda - Macaulays method - Wikipedia

Macaulayova metoda (metoda dvojí integrace) je technika používaná v strukturální analýza určit výchylka z Euler-Bernoulliho paprsky. Použití Macaulayovy techniky je velmi výhodné v případech diskontinuálního a / nebo diskrétního načítání. Touto technikou se obvykle pohodlně manipuluje s dílčími rovnoměrně rozloženými zatíženími (un.d.l.) a rovnoměrně proměnnými zatíženími (u.v.l.) v celém rozpětí a s množstvím koncentrovaných zátěží.

První popis metody v anglickém jazyce byl od Macaulay.^[1] Zdá se, že skutečný přístup byl vyvinut společností Clebsch v roce 1862.^[2] Macaulayova metoda byla zobecněna pro Euler-Bernoulliho paprsky s axiální kompresí,^[3] na Timoshenko paprsky,^[4] na elastické základy,^[5] a na problémy, ve kterých se v nosníku diskontinuálně mění ohybová a smyková tuhost.^[6]

Metoda

Výchozím bodem je vztah z Euler-Bernoulliho teorie paprsků

{ displaystyle pm EI { dfrac {d ^ {2} w} {dx ^ {2}}} = M}

Kde ${ displaystyle w}$ je průhyb a ${ displaystyle M}$ je ohybový moment. Tato rovnice^[7] je jednodušší než rovnice paprsku čtvrtého řádu a lze ji najít dvakrát ${ displaystyle w}$ pokud je hodnota ${ displaystyle M}$ jako funkce ${ displaystyle x}$ je známo. Pro obecné zatížení ${ displaystyle M}$ lze vyjádřit ve formě

{ displaystyle M = M_ {1} (x) + P_ {1} langle x-a_ {1} rangle + P_ {2} langle x-a_ {2} rangle + P_ {3} langle x -a_ {3} rangle + dots}

kde množství ${ displaystyle P_ {i} langle x-a_ {i} rangle}$ představují ohybové momenty v důsledku bodového zatížení a množství ${ displaystyle langle x-a_ {i} rangle}$ je Macaulay držák definováno jako

{ displaystyle langle x-a_ {i} rangle = { begin {cases} 0 & mathrm {if} ~ x a_ {i} end {cases}}}

Obvykle při integraci ${ displaystyle P (x-a)}$ dostaneme

{ displaystyle int P (x-a) ~ dx = P vlevo [{ cfrac {x ^ {2}} {2}} - sekera vpravo] + C}

Při integraci výrazů obsahujících závorky Macaulay však máme

{ displaystyle int P langle x-a rangle ~ dx = P { cfrac { langle x-a rangle ^ {2}} {2}} + C_ {m}}

s rozdílem mezi dvěma výrazy obsaženými v konstantě ${ displaystyle C_ {m}}$ . Díky těmto pravidlům integrace je výpočet průhybu Euler-Bernoulliho paprsků jednoduchý v situacích, kdy dochází k více bodovým zatížením a bodovým momentům. Metoda Macaulay předchází sofistikovanější pojmy jako např Dirac delta funkce a krokové funkce ale dosahuje stejných výsledků u problémů s paprskem.

Příklad: Jednoduše podepřený nosník s bodovým zatížením

Jednoduše podepřený nosník s jediným výstředným soustředěným zatížením.

Ilustrace Macaulayovy metody uvažuje o jednoduše podepřeném nosníku s jediným excentrickým soustředěným zatížením, jak je znázorněno na sousedním obrázku. Prvním krokem je najít ${ displaystyle M}$ . Reakce na podpěrách A a C jsou určeny z rovnováhy sil a momentů jako

{ displaystyle R_ {A} + R_ {C} = P, ~~ LR_ {C} = Pa}

Proto, ${ displaystyle R_ {A} = Pb / L}$ a ohybový moment v bodě D mezi A a B ( ${ displaystyle 0$ ) darováno

{ displaystyle M = R_ {A} x = Pbx / L}

Pomocí vztahu moment-zakřivení a Euler-Bernoulliho výrazu pro ohybový moment máme

{ displaystyle EI { dfrac {d ^ {2} w} {dx ^ {2}}} = { dfrac {Pbx} {L}}}

Integraci výše uvedené rovnice dostaneme pro ${ displaystyle 0$ ,

{ displaystyle { begin {aligned} EI { dfrac {dw} {dx}} & = { dfrac {Pbx ^ {2}} {2L}} + C_ {1} && quad mathrm {(i) } EIw & = { dfrac {Pbx ^ {3}} {6L}} + C_ {1} x + C_ {2} && quad mathrm {(ii)} end {zarovnáno}}}

Na ${ displaystyle x = a _ {-}}$

{ displaystyle { begin {aligned} EI { dfrac {dw} {dx}} (a _ {-}) & = { dfrac {Pba ^ {2}} {2L}} + C_ {1} && quad mathrm {(iii)} EIw (a _ {-}) & = { dfrac {Pba ^ {3}} {6L}} + C_ {1} a + C_ {2} && quad mathrm {( iv)} end {zarovnáno}}}

Pro bod D v oblasti BC ( ${ displaystyle a$ ), ohybový moment je

{ displaystyle M = R_ {A} x-P (x-a) = Pbx / L-P (x-a)}

V Macaulayově přístupu používáme Macaulay držák forma výše uvedeného výrazu představuje skutečnost, že v místě B bylo aplikováno bodové zatížení, tj.

{ displaystyle M = { frac {Pbx} {L}} - P langle x-a rangle}

Proto má Euler-Bernoulliho rovnice paprsku pro tuto oblast tvar

{ displaystyle EI { dfrac {d ^ {2} w} {dx ^ {2}}} = { dfrac {Pbx} {L}} - P langle x-a rangle}

Integrací výše uvedené rovnice dostaneme ${ displaystyle a$

{ displaystyle { begin {seřazeno} EI { dfrac {dw} {dx}} & = { dfrac {Pbx ^ {2}} {2L}} - P { cfrac { langle xa rangle ^ {2 }} {2}} + D_ {1} && quad mathrm {(v)} EIw & = { dfrac {Pbx ^ {3}} {6L}} - P { cfrac { langle xa rangle ^ {3}} {6}} + D_ {1} x + D_ {2} && quad mathrm {(vi)} end {zarovnáno}}}

Na ${ displaystyle x = a _ {+}}$

{ displaystyle { begin {aligned} EI { dfrac {dw} {dx}} (a _ {+}) & = { dfrac {Pba ^ {2}} {2L}} + D_ {1} && quad mathrm {(vii)} EIw (a _ {+}) & = { dfrac {Pba ^ {3}} {6L}} + D_ {1} a + D_ {2} && quad mathrm {( viii)} end {zarovnáno}}}

Při srovnání rovnic (iii) a (vii) a (iv) a (viii) si všimneme, že kvůli kontinuitě v bodě B, ${ displaystyle C_ {1} = D_ {1}}$ a ${ displaystyle C_ {2} = D_ {2}}$ . Výše uvedené pozorování naznačuje, že pro oba uvažované regiony platí rovnice pro ohybový moment a tedy pro zakřivení jsou různé, konstanty integrace získané během postupné integrace rovnice pro zakřivení pro obě oblasti jsou stejné.

Výše uvedený argument platí pro libovolný počet / typ diskontinuit v rovnicích pro zakřivení, za předpokladu, že v každém případě si rovnice zachová termín pro následující oblast ve tvaru ${ displaystyle langle x-a rangle ^ {n}, langle x-b rangle ^ {n}, langle x-c rangle ^ {n}}$ Mělo by se pamatovat na to, že pro libovolné x, udávající množství v závorkách, jako ve výše uvedeném případě, by mělo být zanedbáno -ve a výpočty by měly být provedeny s ohledem pouze na množství, která dávají znaménko + ve pro výrazy v rámci závorky.

Vrátíme-li se k problému, máme

{ displaystyle EI { dfrac {d ^ {2} w} {dx ^ {2}}} = { dfrac {Pbx} {L}} - P langle x-a rangle}

Je zřejmé, že je třeba brát v úvahu pouze první termín ${ displaystyle x$ a obě podmínky pro ${ displaystyle x> a}$ a řešení je

{ displaystyle { begin {aligned} EI { dfrac {dw} {dx}} & = left [{ dfrac {Pbx ^ {2}} {2L}} + C_ {1} right] - { cfrac {P langle xa rangle ^ {2}} {2}} EIw & = left [{ dfrac {Pbx ^ {3}} {6L}} + C_ {1} x + C_ {2} vpravo] - { cfrac {P langle xa rangle ^ {3}} {6}} end {zarovnáno}}}

Všimněte si, že konstanty jsou umístěny bezprostředně za prvním členem, což znamená, že jdou s prvním členem, když ${ displaystyle x$ a s oběma podmínkami, když ${ displaystyle x> a}$ . Závorky Macaulay pomáhají připomínat, že množství vpravo je nulové, když uvažujeme body s ${ displaystyle x$ .

Okrajové podmínky

Tak jako ${ displaystyle w = 0}$ na ${ displaystyle x = 0}$ , ${ displaystyle C2 = 0}$ . Také jako ${ displaystyle w = 0}$ na ${ displaystyle x = L}$ ,

{ displaystyle left [{ dfrac {PbL ^ {2}} {6}} + C_ {1} L right] - { cfrac {P (L-a) ^ {3}} {6}} = 0}

nebo,

{ displaystyle C_ {1} = - { cfrac {Pb} {6L}} (L ^ {2} -b ^ {2}) ~.}

Proto,

{ displaystyle { begin {aligned} EI { dfrac {dw} {dx}} & = left [{ dfrac {Pbx ^ {2}} {2L}} - { cfrac {Pb} {6L}} (L ^ {2} -b ^ {2}) right] - { cfrac {P langle xa rangle ^ {2}} {2}} EIw & = left [{ dfrac {Pbx ^ { 3}} {6L}} - { cfrac {Pbx} {6L}} (L ^ {2} -b ^ {2}) right] - { cfrac {P langle xa rangle ^ {3}} {6}} end {zarovnáno}}}

Maximální průhyb

Pro ${ displaystyle w}$ být maximální, ${ displaystyle dw / dx = 0}$ . Za předpokladu, že se to stane pro ${ displaystyle x$ my máme

{ displaystyle { dfrac {Pbx ^ {2}} {2L}} - { cfrac {Pb} {6L}} (L ^ {2} -b ^ {2}) = 0}

nebo

{ displaystyle x = pm { cfrac {(L ^ {2} -b ^ {2}) ^ {1/2}} { sqrt {3}}}}

Jasně ${ displaystyle x <0}$ nemůže být řešením. Proto je maximální průhyb dán vztahem

{ displaystyle EIw _ { mathrm {max}} = { cfrac {1} {3}} vlevo [{ dfrac {Pb (L ^ {2} -b ^ {2}) ^ {3/2}} {6 { sqrt {3}} L}} vpravo] - { cfrac {Pb (L ^ {2} -b ^ {2}) ^ {3/2}} {6 { sqrt {3}} L}}}

nebo,

{ displaystyle w _ { mathrm {max}} = - { dfrac {Pb (L ^ {2} -b ^ {2}) ^ {3/2}} {9 { sqrt {3}} EIL}} ~.}

Průhyb v bodě aplikace zatížení

Na ${ displaystyle x = a}$ tj. v bodě B je průhyb

{ displaystyle EIw_ {B} = { dfrac {Pba ^ {3}} {6L}} - { cfrac {Pba} {6L}} (L ^ {2} -b ^ {2}) = { frac {Pba} {6L}} (a ^ {2} + b ^ {2} -L ^ {2})}

nebo

{ displaystyle w_ {B} = - { cfrac {Pa ^ {2} b ^ {2}} {3LEI}}}

Průhyb ve středu

Je poučné zkoumat poměr ${ displaystyle w _ { mathrm {max}} / w (L / 2)}$ . Na ${ displaystyle x = L / 2}$

{ displaystyle EIw (L / 2) = { dfrac {PbL ^ {2}} {48}} - { cfrac {Pb} {12}} (L ^ {2} -b ^ {2}) = - { frac {Pb} {12}} vlevo [{ frac {3L ^ {2}} {4}} - b ^ {2} vpravo]}

Proto,

{ displaystyle { frac {w _ { mathrm {max}}} {w (L / 2)}} = { frac {4 (L ^ {2} -b ^ {2}) ^ {3/2} } {3 { sqrt {3}} L left [{ frac {3L ^ {2}} {4}} - b ^ {2} right]}} = { frac {4 (1 - { frac {b ^ {2}} {L ^ {2}}}) ^ {3/2}} {3 { sqrt {3}} left [{ frac {3} {4}} - { frac {b ^ {2}} {L ^ {2}}} right]}} = { frac {16 (1-k ^ {2}) ^ {3/2}} {3 { sqrt {3} } left (3-4k ^ {2} right)}}}

kde ${ displaystyle k = B / L}$ a pro ${ displaystyle a$ . I když je zatížení téměř 0,05 L od podpěry, chyba v odhadu průhybu je pouze 2,6%. Ve většině případů tedy může být odhad maximální výchylky proveden poměrně přesně s přiměřenou mírou chyby zpracováním výchylky ve středu.

Zvláštní případ symetricky aplikovaného zatížení

Když ${ displaystyle a = b = L / 2}$ , pro ${ displaystyle w}$ být maximální

{ displaystyle x = { cfrac {[L ^ {2} - (L / 2) ^ {2}] ^ {1/2}} { sqrt {3}}} = { frac {L} {2 }}}

a maximální průhyb je

{ displaystyle w _ { mathrm {max}} = - { dfrac {P (L / 2) b [L ^ {2} - (L / 2) ^ {2}] ^ {3/2}} {9 { sqrt {3}} EIL}} = - { frac {PL ^ {3}} {48EI}} = w (L / 2) ~.}

Reference

^ W. H. Macaulay, „Poznámka o vychýlení paprsků“, Messenger of Mathematics, 48 (1919), 129.
^ J. T. Weissenburger, „Integrace diskontinuálních výrazů vznikajících v teorii paprsků“, AIAAJournal, 2 (1) (1964), 106–108.
^ W. H. Wittrick „Zobecnění Macaulayovy metody s aplikacemi ve strukturální mechanice“, AIAA Journal, 3 (2) (1965), 326–330.
^ A. Yavari, S. Sarkani a JN Reddy, „On nonuniform Euler – Bernoulli and Timoshenko beams with jump diskontinuity: application of distribution theory“, International Journal of Solids and Structures, 38 (46–7) (2001), 8389–8406 .
^ A. Yavari, S. Sarkani a J. N. Reddy, „Generalized solutions of beams with jump diskontinuity na elastických základech“, Archive of Applied Mechanics, 71 (9) (2001), 625–639.
^ Stephen, N. G., (2002), „Macaulayova metoda pro paprsek Timoshenko“, Int. J. Mech. Angl. Education, 35 (4), str. 286-292.
^ Znaménko na levé straně rovnice závisí na použité konvenci. Ve zbývající části tohoto článku budeme předpokládat, že znaková konvence je taková, že je vhodné kladné znaménko.

Viz také

[Macaulay-1] W. H. Macaulay, „Poznámka o vychýlení paprsků“, Messenger of Mathematics, 48 (1919), 129.

[Weiss-2] J. T. Weissenburger, „Integrace diskontinuálních výrazů vznikajících v teorii paprsků“, AIAAJournal, 2 (1) (1964), 106–108.

[Wittrick-3] W. H. Wittrick „Zobecnění Macaulayovy metody s aplikacemi ve strukturální mechanice“, AIAA Journal, 3 (2) (1965), 326–330.

[Yavari-4] A. Yavari, S. Sarkani a JN Reddy, „On nonuniform Euler – Bernoulli and Timoshenko beams with jump diskontinuity: application of distribution theory“, International Journal of Solids and Structures, 38 (46–7) (2001), 8389–8406 .

[Yavari1-5] A. Yavari, S. Sarkani a J. N. Reddy, „Generalized solutions of beams with jump diskontinuity na elastických základech“, Archive of Applied Mechanics, 71 (9) (2001), 625–639.

[Stephen-6] Stephen, N. G., (2002), „Macaulayova metoda pro paprsek Timoshenko“, Int. J. Mech. Angl. Education, 35 (4), str. 286-292.

[note1-7] Znaménko na levé straně rovnice závisí na použité konvenci. Ve zbývající části tohoto článku budeme předpokládat, že znaková konvence je taková, že je vhodné kladné znaménko.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]