Loewy prsten - Loewy ring

V matematice, a Loewy prsten nebo semi-artinianský prsten je prsten ve kterém každá nenulová modul má nenulovou hodnotu sokl, nebo ekvivalentně, pokud Loewy délka je definován každý modul. Pojmy jsou pojmenovány po Alfred Loewy.

Loewy délka

Série Loewy délka a Loewy byly představeny Emil Artin, Cecil J. Nesbitt, a Robert M. Thrall  (1944 )

Li M je modul, pak definujte řadu Loewy M_α pro řadové α od M₀ = 0, M_{α + 1}/M_α = soklM/M_α, M_α = ∪_{λ <α} M_λ pokud α je limitní pořadové číslo. Loewyova délka M je definován jako nejmenší α s M = M_α, pokud existuje.

Semiartinianské moduly

${ displaystyle _ {R} M}$ je semiartinian modul, pokud pro všechny ${ displaystyle M rightarrow N}$ epimorfismus, kde ${ displaystyle N neq 0}$, sokl z ${ displaystyle N}$ je zásadní v ${ displaystyle N}$.

Všimněte si, že pokud ${ displaystyle _ {R} M}$ je pak modul artinian ${ displaystyle _ {R} M}$ je semiartinian modul. Jasně 0 je semiartinian.

Nechat ${ displaystyle 0 rightarrow M ' rightarrow M rightarrow M' ' rightarrow 0}$ být tedy přesný ${ displaystyle M '}$ a ${ displaystyle M ''}$ jsou semiartinští právě tehdy ${ displaystyle M}$ je semiartinian.

Zvážit ${ displaystyle {M_ {i} } _ {i v I}}$ rodina ${ displaystyle R}$- tedy moduly ${ displaystyle oplus _ {i v I} M_ {i}}$ je semiartinian právě tehdy ${ displaystyle M_ {j}}$ je semiartinian pro všechny ${ displaystyle j v I}$.

Semiartinian prsteny

${ displaystyle R}$ se nazývá levý semiartinian, pokud ${ displaystyle _ {R} R}$ je semiartinian, to znamená, ${ displaystyle R}$ je ponechán semiartinian, pokud pro jakýkoli levý ideál ${ displaystyle I}$, ${ displaystyle R / I}$ obsahuje jednoduchý submodul.

Všimněte si, že ${ displaystyle R}$ levý semiartinian neznamená ${ displaystyle R}$ vlevo artinian.

Reference

• Assem, Ibrahim; Simson, Daniel; Skowroński, Andrzej (2006), Základy teorie reprezentace asociativních algeber. Sv. 1: Techniky teorie reprezentaceStudentské texty London Mathematical Society, 65, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN  0-521-58631-3, Zbl  1092.16001
• Artin, Emil; Nesbitt, Cecil J .; Thrall, Robert M. (1944), Kroužky s minimální podmínkou, University of Michigan Publications in Mathematics, 1Ann Arbor, MI: University of Michigan Press, PAN  0010543, Zbl  0060.07701
• Nastasescu, Constantin; Popescu, Nicolae (1968), „Anneaux semi-artiniens“, Bulletin de la Société Mathématique de France, 96: 357–368, ISSN  0037-9484, PAN  0238887, Zbl  0227.16014
• Nastasescu, Constantin; Popescu, Nicolae (1966), „Sur la structure des objets de certaines catégories abéliennes“, Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série A, GAUTHIER-VILLARS / EDITION ELSEVIER 23 RUE LINOIS, 75015 Paříž, Francie, 262: A1295 – A1297