Výpadný rozklad - Loewy decomposition

tento článek potřebuje víc odkazy na další články pomoci integrovat to do encyklopedie. Prosím pomozte vylepšit tento článek přidáním odkazů které jsou relevantní pro kontext v rámci stávajícího textu. (prosinec 2013) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

Ve studii o diferenciální rovnice, Výpadný rozklad zlomí každý lineární obyčejná diferenciální rovnice (ODE) do takzvaných největších zcela redukovatelných komponent. To bylo představeno Alfred Loewy.^[1]

Řešení diferenciální rovnice je jedním z nejdůležitějších podpolí v matematika. Obzvláště zajímavá jsou řešení v uzavřená forma. Rozdělení ODR na největší neredukovatelné komponenty redukuje proces řešení původní rovnice na řešení neredukovatelných rovnic nejnižšího možného řádu. Tento postup je algoritmický, takže je zaručena nejlepší možná odpověď na řešení redukovatelné rovnice. Podrobnou diskusi najdete v.^[2]

Výsledky Loewyho byly rozšířeny na lineární částečný diferenciální rovnice (PDE) ve dvou nezávislých proměnných. Tímto způsobem byly k dispozici algoritmické metody pro řešení velkých tříd lineárních PDE.

Rozklad lineárních obyčejných diferenciálních rovnic

Nechat ${ displaystyle D equiv { frac {d} {dx}}}$ označit derivát w.r.t. proměnná ${ displaystyle x}$. Diferenciální operátor objednávky ${ displaystyle n}$ je polynom formy

${ displaystyle L equiv D ^ {n} + a_ {1} D ^ {n-1} + cdots + a_ {n-1} D + a_ {n}}$

kde koeficienty ${ displaystyle a_ {i}}$, ${ displaystyle i = 1, ldots, n}$ jsou z nějakého funkčního pole,základní pole z ${ displaystyle L}$. Obvykle se jedná o pole racionálních funkcí v proměnné ${ displaystyle x}$, tj. ${ displaystyle a_ {i} in { mathbb {Q}} (x)}$. Li ${ displaystyle y}$ je neurčitý s ${ displaystyle { frac {dy} {dx}} neq 0}$, ${ displaystyle Ly}$ se stává diferenciálním polynomem a ${ displaystyle Ly = 0}$ je diferenciální rovnice odpovídající ${ displaystyle L}$.

Provozovatel ${ displaystyle L}$ řádu ${ displaystyle n}$ je nazýván redukovatelný jestliže to může být reprezentováno jako produkt dvou operátorů ${ displaystyle L_ {1}}$ a ${ displaystyle L_ {2}}$, obě objednávky nižší než ${ displaystyle n}$. Pak jeden píše ${ displaystyle L = L_ {1} L_ {2}}$, tj. juxtapozice znamená produkt operátora, je definován pravidlem${ displaystyle Da_ {i} = a_ {i} D + a_ {i} '}$; ${ displaystyle L_ {1}}$ se nazývá levý faktor ${ displaystyle L}$, ${ displaystyle L_ {2}}$ správný faktor. Ve výchozím nastavení se doména koeficientů faktorů považuje za základní pole ${ displaystyle L}$, případně rozšířeno o některá algebraická čísla, tj. ${ displaystyle { bar { mathbb {Q}}} (x)}$ je povoleno. Pokud operátor neumožňuje žádný pravý faktor, je volán neredukovatelné.

Pro libovolné dva operátory ${ displaystyle L_ {1}}$ a ${ displaystyle L_ {2}}$ the nejméně obyčejný levý násobek${ displaystyle Lclm (L_ {1}, L_ {2})}$ je operátor nejnižšího řádu takový, že oba ${ displaystyle L_ {1}}$ a ${ displaystyle L_ {2}}$ rozdělit to zprava. The největší společný pravý dělitel ${ displaystyle Gcrd (L_ {1}, L_ {2})}$ je operátor nejvyššího řádu, který rozděluje obojí ${ displaystyle L_ {1}}$ a ${ displaystyle L_ {2}}$ zprava. Pokud může být operátor představen jako ${ displaystyle Lclm}$ ireducibilních operátorů se nazývá zcela redukovatelné. Podle definice se ireducibilní operátor nazývá zcela redukovatelný.

Pokud operátor není zcela redukovatelný, ${ displaystyle Lclm}$ jeho neredukovatelných správných faktorů je rozděleno a stejný postup se opakuje s kvocientem. Kvůli snížení pořadí v každém kroku toto řízení končí po konečném počtu iterací a je dosaženo požadovaného rozkladu. Na základě těchto úvah, Loewy ^[1] získal následující zásadní výsledek.

Věta 1 (Loewy 1906) Let ${ displaystyle D = { frac {d} {dx}}}$ být derivátem a ${ displaystyle a_ {i} in { mathbb {Q} (x)}}$. Operátor diferenciálu

${ displaystyle L equiv D ^ {n} + a_ {1} D ^ {n-1} + cdots + a_ {n-1} D + a_ {n}}$

řádu ${ displaystyle n}$ může být napsán jednoznačně jako produkt zcela redukovatelných faktorů ${ displaystyle L_ {k} ^ {(d_ {k})}}$ maximálního řádu ${ displaystyle d_ {k}}$ přes ${ displaystyle { mathbb {Q}} (x)}$ ve formě

${ displaystyle L = L_ {m} ^ {(d_ {m})} L_ {m-1} ^ {(d_ {m-1})} ldots L_ {1} ^ {(d_ {1})} }$

s ${ displaystyle d_ {1} + ldots + d_ {m} = n}$. Faktory ${ displaystyle L_ {k} ^ {(d_ {k})}}$ jsou jedinečné. Jakýkoli faktor ${ displaystyle L_ {k} ^ {(d_ {k})}}$,${ displaystyle k = 1, ldots, m}$ lze psát jako

${ displaystyle L_ {k} ^ {(d_ {k})} = Lclm (l_ {j_ {1}} ^ {(e_ {1})}, l_ {j_ {2}} ^ {(e_ {2} )}, ldots, l_ {j_ {k}} ^ {(e_ {k})})}$

s ${ displaystyle e_ {1} + e_ {2} + ldots + e_ {k} = d_ {k}}$; ${ displaystyle l_ {j_ {i}} ^ {(e_ {i})}}$ pro ${ displaystyle i = 1, ldots, k}$, označuje neredukovatelný operátor objednávky ${ displaystyle e_ {i}}$ přes ${ displaystyle { mathbb {Q}} (x)}$.

Rozklad určený v této větě se nazývá Výpadný rozklad z ${ displaystyle L}$. Poskytuje podrobný popis funkčního prostoru obsahujícího řešení redukovatelné lineární diferenciální rovnice ${ displaystyle Ly = 0}$.

Pro operátory pevné objednávky mohou být výslovně uvedeny možné Loewy rozklady, které se liší počtem a řadou faktorů; některé faktory mohou obsahovat parametry. Každá alternativa se nazývá a typ Loewyho rozkladu. Kompletní odpověď pro ${ displaystyle n = 2}$ je podrobně popsán v následujícím důsledku výše uvedené věty.^[3]

Dodatek 1Nechat ${ displaystyle L}$ být operátorem druhého řádu. Možné Loewyho rozklady jsou označeny${ displaystyle { mathcal {L}} _ {0} ^ {2}, ldots { mathcal {L}} _ {3} ^ {2}}$, mohou být popsány následovně; ${ displaystyle l ^ {(i)}}$ a ${ displaystyle l_ {j} ^ {(i)}}$ jsou neredukovatelní operátoři objednávky ${ displaystyle i}$; ${ displaystyle C}$ je konstanta.

${ displaystyle { mathcal {L}} _ {1} ^ {2}: L = l_ {2} ^ {(1)} l_ {1} ^ {(1)};}$    

${ displaystyle { mathcal {L}} _ {2} ^ {2}: L = Lclm (l_ {2} ^ {(1)}, l_ {1} ^ {(1)});}$   

${ displaystyle { mathcal {L}} _ {3} ^ {2}: L = Lclm (l ^ {(1)} (C)).}$

Typ rozkladu operátoru je rozklad ${ displaystyle { mathcal {L}} _ {i} ^ {2}}$ s nejvyšší hodnotou ${ displaystyle i}$. Neredukovatelný operátor druhého řádu je definován tak, aby měl typ rozkladu ${ displaystyle { mathcal {L}} _ {0} ^ {2}}$.

Rozklady ${ displaystyle { mathcal {L}} _ {0} ^ {2}}$, ${ displaystyle { mathcal {L}} _ {2} ^ {2}}$ a ${ displaystyle { mathcal {L}} _ {3} ^ {2}}$ jsou zcela redukovatelné.

Pokud jde o rozklad typu ${ displaystyle { mathcal {L}} _ {i} ^ {2}}$, ${ displaystyle i = 1,2}$ nebo ${ displaystyle 3}$ bylo získáno pro rovnici druhého řádu ${ displaystyle Ly = 0}$, základní systém může být uveden výslovně.

Důsledek 2Nechat ${ displaystyle L}$ být operátorem diferenciálu druhého řádu, ${ displaystyle D equiv { frac {d} {dx}}}$, ${ displaystyle y}$ - neurčitý rozdíl a - ${ displaystyle a_ {i} in { mathbb {Q}} (x)}$. Definovat ${ displaystyle varepsilon _ {i} (x) ekviv exp {(- int a_ {i} dx)}}$ pro ${ displaystyle i = 1,2}$ a ${ displaystyle varepsilon (x, C) equiv exp {(- int a (C) dx)}}$, ${ displaystyle C}$ je parametr; promlčená množství ${ displaystyle { bar {C}}}$ a ${ displaystyle { bar { bar {C}}}}$ jsou libovolná čísla, ${ displaystyle { bar {C}} neq { bar { bar {C}}}}$. Pro tři netriviální rozklady Corollary 1 následující prvky ${ displaystyle y_ {1}}$ a ${ displaystyle y_ {2}}$ základního systému.

${ displaystyle { mathcal {L}} _ {1} ^ {2}}$: ${ displaystyle Ly = (D + a_ {2}) (D + a_ {1}) y = 0}$;   

${ displaystyle y_ {1} = varepsilon _ {1} (x),}$

${ displaystyle y_ {2} = varepsilon _ {1} (x) int { frac { varepsilon _ {2} (x)} { varepsilon _ {1} (x)}} , dx.}$

${ displaystyle { mathcal {L}} _ {2} ^ {2}}$: ${ displaystyle Ly = Lclm (D + a_ {2}, D + a_ {1}) y = 0;}$

${ displaystyle y_ {i} = varepsilon _ {i} (x);}$

${ displaystyle a_ {1}}$ není ekvivalentní s ${ displaystyle a_ {2}}$.

${ displaystyle { mathcal {L}} _ {3} ^ {2}}$: ${ displaystyle Ly = Lclm (D + a (C)) y = 0;}$

${ displaystyle y_ {1} = varepsilon (x, { bar {C}})}$

${ displaystyle y_ {2} = varepsilon (x, { bar { bar {C}}}).}$

Zde dvě racionální funkce ${ displaystyle p, q in { mathbb {Q}} (x)}$ jsou nazývány ekvivalent pokud existuje jiná racionální funkce ${ displaystyle r in { mathbb {Q}} (x)}$ takhle

${ displaystyle p-q = { frac {r '} {r}}}$.

Zůstává otázka, jak získat faktorizaci pro danou rovnici nebo operátor. Ukazuje se, že při hledání lineárních ód se faktory snižují až k určení racionálních řešení Riccatiho rovnic nebo lineárních ód; obojí lze určit algoritmicky. Dva níže uvedené příklady ukazují, jak se výše uvedený důsledek aplikuje.

Příklad 1Rovnice 2.201 ze sbírky Kamke.^[4]má ${ displaystyle { mathcal {L}} _ {2} ^ {2}}$ rozklad

${ displaystyle y '' + (2 + { frac {1} {x}}) y '- { frac {4} {x ^ {2}}} y = Lclm { Big (} D + { frac {2} {x}} - { frac {2x-2} {x ^ {2} -2x + { frac {3} {2}}}}, D + 2 + { frac {2} {x} } - { frac {1} {x + { frac {3} {2}}}} { Big)} y = 0.}$

Koeficienty ${ displaystyle a_ {1} = 2 + { frac {2} {x}} - { frac {1} {x + { frac {3} {2}}}}}$ a${ displaystyle a_ {2} = { frac {2} {x}} - { frac {2x-2} {x ^ {2} -2x + { frac {3} {2}}}}}$ jsou racionální řešení Riccatiequation ${ displaystyle a'-a ^ {2} + { big (} 2 + { frac {1} {x}} { big)} + { frac {4} {x ^ {2}}} = 0}$, dávají základní systém

${ displaystyle y_ {1} = { frac {2} {3}} - { frac {4} {3x}} + { frac {1} {x ^ {2}}},}$

${ displaystyle y_ {2} = { frac {2} {x}} + { frac {3} {x ^ {2}}} e ^ {- 2x}.}$

Příklad 2Rovnice s typem ${ displaystyle { mathcal {L}} _ {3} ^ {2}}$ rozklad je

${ displaystyle y '' - { frac {6} {x ^ {2}}} y = Lclm { big (} D + { frac {2} {x}} - { frac {5x ^ {4} } {x ^ {5} + C}} { big)} y = 0.}$

Koeficient faktoru prvního řádu je racionálním řešením ${ displaystyle a'-a ^ {2} + { frac {6} {x ^ {2}}} = 0}$. Po integraci základní systém ${ displaystyle y_ {1} = x ^ {3}}$ a${ displaystyle y_ {2} = { frac {1} {x ^ {2}}}}$ pro ${ displaystyle C = 0}$ a ${ displaystyle C rightarrow infty}$ příslušně.

Tyto výsledky ukazují, že faktorizace poskytuje algoritmické schéma pro řešení redukovatelných lineárních ód. Kdykoli rovnice řádu 2 faktorizuje podle jednoho z typů definovaných výše, jsou elementy základního systému výslovně známy, tj. Faktorizace je ekvivalentní jejich řešení.

Podobné schéma může být nastaveno pro lineární ode libovolného řádu, ačkoli počet alternativ s řádem značně roste; pro objednávku ${ displaystyle n = 3}$ odpověď je podrobně uvedena v.^[2]

Pokud je rovnice neredukovatelná, může se stát, že její Galoisova skupina je netriviální, pak mohou existovat algebraická řešení.^[5] Pokud je skupina Galois triviální, je možné vyjádřit řešení pomocí speciálních funkcí, jako je např. Funkce Bessel nebo Legendre, viz ^[6] nebo.^[7]

Základní fakta z diferenciální algebry

Aby bylo možné zobecnit výsledek Loewy na lineární PDE, je nutné je použít v obecnějším nastavení diferenciální algebra. Dále je proto uvedeno několik základních konceptů, které jsou pro tento účel požadovány.

Pole ${ displaystyle { mathcal {F}}}$ se nazývá a diferenciální pole pokud je vybaven a operátor odvození. Provozovatel ${ displaystyle delta}$ na poli ${ displaystyle { mathcal {F}}}$ se nazývá derivační operátor, pokud ${ displaystyle delta (a + b) = delta (a) + delta (b)}$ a ${ displaystyle delta (ab) = delta (a) b + a delta (b)}$ pro všechny prvky ${ displaystyle a, b in { mathcal {F}}}$. Pole s operátorem jedné derivace se nazývá an obyčejné diferenciální pole; pokud existuje nekonečná množina obsahující několik operátorů odvozování dojíždění, pole se nazývá a parciální diferenciální pole.

Zde diferenciální operátory s deriváty ${ displaystyle částečné _ {x} = { frac { částečné} { částečné x}}}$ a${ displaystyle částečné _ {y} = { frac { částečné} { částečné y}}}$ s koeficienty z nějakého diferenciálního pole. Jeho prvky mají formu ${ displaystyle sum _ {i, j} r_ {i, j} (x, y) částečný _ {x} ^ {i} částečný _ {y} ^ {j}}$; téměř všechny koeficienty ${ displaystyle r_ {i, j}}$ jsou nula. Pole koeficientu se nazývá základní pole. Pokud jsou hlavním problémem konstruktivní a algoritmické metody ${ displaystyle { mathbb {Q}} (x, y)}$. Příslušný kruh diferenciálních operátorů je označen ${ displaystyle { mathcal {D}} = { mathbb {Q}} (x, y) [ částečné _ {x}, částečné _ {y}]}$ nebo ${ displaystyle { mathcal {D}} = { mathcal {F}} [ částečné _ {x}, částečné _ {y}]}$. Prsten ${ displaystyle { mathcal {D}}}$ je nekomutativní, ${ displaystyle částečné _ {x} a = a částečné _ {x} + { frac { částečné a} { částečné x}}}$ a podobně pro ostatní proměnné; ${ displaystyle a}$ je ze základního pole.

Pro operátora ${ displaystyle L = součet _ {i + j leq n} r_ {i, j} (x, y) částečný _ {x} ^ {i} částečný _ {y} ^ {j}}$ řádu ${ displaystyle n}$ the symbol L. je homogenní algebraický polynom ${ displaystyle symb (L) ekviv součet _ {i + j = n} r_ {i, j} (x, y) X ^ {i} Y ^ {j}}$kde ${ displaystyle X}$ a ${ displaystyle Y}$ algebraické neurčitosti.

Nechat ${ displaystyle I}$ být levým ideálem, který je generován ${ displaystyle l_ {i} v { mathcal {D}}}$, ${ displaystyle i = 1, ldots, p}$. Pak jeden píše ${ displaystyle I = langle l_ {1}, ldots, l_ {p} rangle}$. Protože zde někdy nejsou zvažovány správné ideály ${ displaystyle I}$ se jednoduše nazývá ideální.

Vztah mezi levými ideály v ${ displaystyle { mathcal {D}}}$ a systémy lineárních PDE jsou stanoveny následovně. Elementy ${ displaystyle l_ {i} v { mathcal {D}}}$ jsou aplikovány na jednotlivý diferenciální neurčitý ${ displaystyle z}$. Tímto způsobem ideální ${ displaystyle I = langle l_ {1}, l_ {2}, ldots rangle}$ odpovídá systému PDE ${ displaystyle l_ {1} z = 0}$, ${ displaystyle l_ {2} z = 0, ldots}$ pro jednu funkci ${ displaystyle z}$.

Generátory ideálu jsou vysoce nejedinečné; jeho členové mohou být transformováni nekonečně mnoha způsoby tím, že vezmou jejich lineární kombinace nebo jejich deriváty beze změny ideálu. Proto M. Janet^[8] zavedl normální formu pro systémy lineárních PDE (viz Janet základ ).^[9] Jedná se o analogový analog Gröbnerovy základny z komutativní algebra (které byly původně zavedeny Bruno Buchberger );^[10] proto se také někdy nazývají diferenciální Gröbnerův základ.

Aby bylo možné vytvořit základ Janet, je třeba definovat pořadí derivátů. Jedná se o celkové uspořádání takové, že pro jakékoli deriváty ${ displaystyle delta}$, ${ displaystyle delta _ {1}}$ a ${ displaystyle delta _ {2}}$a jakýkoli operátor odvození ${ displaystyle theta}$ vztahy ${ displaystyle delta preceq theta delta}$, a ${ displaystyle delta _ {1} preceq delta _ {2} rightarrow delta delta _ {1} preceq delta delta _ {2}}$ jsou platné. Zde odstupňované lexikografické termíny ${ displaystyle grlex}$ jsou použity. U parciálních derivací jedné funkce je jejich definice analogická monomiálnímu uspořádání v komutativní algebře. S-páry v komutativní algebře odpovídají podmínkám integrability.

Pokud je zajištěno, že generátory ${ displaystyle l_ {1}, ldots, l_ {p}}$ ideálu ${ displaystyle I}$ tvoří základ Janet notace ${ displaystyle I = {{ big langle} { big langle}} l_ {1}, ldots, l_ {p} {{ big rangle} { big rangle}}}$ je použito.

Příklad 3Zvažte ideální

${ displaystyle I = { Big  langle} l_ {1}  equiv  částečné _ {xx} - { frac {1} {x}}  částečné _ {x} - { frac {y} {x ( x + y)}}  částečné _ {y},}$ 

${ displaystyle l_ {2} equiv částečné _ {xy} + { frac {1} {x + y}} částečné _ {y},}$ ${ displaystyle l_ {3} equiv částečné _ {yy} + { frac {1} {x + y}} částečné _ {y} { velký rangle}}$

v ${ displaystyle grlex}$ termínová objednávka s ${ displaystyle x succ y}$. Jeho generátory jsou autoredukovány. Pokud je podmínka integrovatelnosti

${ displaystyle l_ {1, y} = l_ {2, x} -l_ {2, y} = { frac {y + 2x} {x (x + y)}}  částečný _ {xy} + { frac {y} {x (x + y)}}  částečné _ {yy}}$

je snížena w.r.t. na ${ displaystyle I}$, nový generátor ${ displaystyle částečné _ {y}}$ je získáno. Přidáním do generátorů a provedením všech možných redukcí je daný ideál zobrazen jako${ displaystyle I = {{ Big langle} { Big langle}} částečné _ {xx} - { frac {1} {x}} částečné _ {x}, částečné _ {y} { { Velký rangle} { Velký rangle}}}$. Jeho generátory jsou autoredukovány a je splněna podmínka jediné integrovatelnosti, tj. Tvoří základ Janet.

Vzhledem k jakémukoli ideálu ${ displaystyle I}$ může se stát, že je správně obsažen v nějakém větším ideálu ${ displaystyle J}$ s koeficienty v základním poli ${ displaystyle I}$; pak ${ displaystyle J}$ se nazývá a dělitel z ${ displaystyle I}$. Obecně platí, že dělitel v kruhu operátorů částečných diferenciálů nemusí být zásadní.

The největší dělitel společných práv (Gcrd) nebo součet dvou ideálů ${ displaystyle I}$ a ${ displaystyle J}$je nejmenší ideál s vlastností, že oba ${ displaystyle I}$ a ${ displaystyle J}$ jsou v něm obsaženy. Pokud mají zastoupení${ displaystyle I equiv langle f_ {1}, ldots, f_ {p} rangle}$ a${ displaystyle J equiv langle g_ {1}, ldots, g_ {q} rangle,}$${ displaystyle f_ {i}}$, ${ displaystyle g_ {j} v { mathcal {D}}}$ pro všechny ${ displaystyle i}$ a ${ displaystyle j}$, součet je generován spojením generátorů ${ displaystyle I}$ a ${ displaystyle J}$. Prostor řešení rovnic odpovídajících ${ displaystyle Gcrd (I, J)}$ je průsečík prostorů řešení jeho argumentů.

The nejméně obyčejný levý násobek (Lclm) nebo levá křižovatka dvou ideálů ${ displaystyle I}$a ${ displaystyle J}$ je největší ideál s vlastností, ve které je obsažen ${ displaystyle I}$ a ${ displaystyle J}$Prostor řešení ${ displaystyle Lclm (I, J) z = 0}$ je nejmenší prostor obsahující mezery řešení jeho argumentů.

Zvláštní druh dělitele je tzv Laplaceův dělitel daného operátora${ displaystyle L}$,^[2] strana 34. Je definována následovně.

DefiniceNechat ${ displaystyle L}$ být operátorem částečného diferenciálu v rovině; definovat

${ displaystyle { mathfrak {l}} _ {m}  ekviv  částečný _ {x ^ {m}} + a_ {m-1}  částečný _ {x ^ {m-1}} +  ldots + a_ {1}  částečné _ {x} + a_ {0}}$ a

${ displaystyle { mathfrak {k}} _ {n}  ekviv  částečný _ {y ^ {n}} + b_ {n-1}  částečný _ {y ^ {n-1}} +  ldots + b_ {1}  částečné _ {y} + b_ {0}}$

být obyčejní diferenciální operátoři w.r.t. ${ displaystyle x}$ nebo ${ displaystyle y}$; ${ displaystyle a_ {i}, b_ {i} v { mathbb {Q}} (x, y)}$ pro všechny i; ${ displaystyle m}$ a ${ displaystyle n}$ jsou přirozená čísla ne menší než 2. Předpokládejme koeficienty ${ displaystyle a_ {i}}$, ${ displaystyle i = 0, ldots, m-1}$ jsou takové, že ${ displaystyle L}$ a ${ displaystyle { mathfrak {l}} _ {m}}$ tvoří základ Janet. Li ${ displaystyle m}$ je tedy nejmenší celé číslo s touto vlastností ${ displaystyle { mathbb {L}} _ {x ^ {m}} (L) equiv { langle langle} L, { mathfrak {l}} _ {m} { rangle rangle}}$ se nazývá a Laplaceův dělitel z ${ displaystyle L}$. Podobně, pokud ${ displaystyle b_ {j}}$, ${ displaystyle j = 0, ldots, n-1}$ jsou takové, že ${ displaystyle L}$ a ${ displaystyle { mathfrak {k}} _ {n}}$ tvoří základ Janet a ${ displaystyle n}$ je tedy minimální ${ displaystyle { mathbb {L}} _ {y ^ {n}} (L) equiv { langle langle} L, { mathfrak {k}} _ {n} { rangle rangle}}$ se také nazývá a Laplaceův dělitel z ${ displaystyle L}$.

Aby Laplaceův dělitel existoval koeficienty operátora ${ displaystyle L}$ musí dodržovat omezení.^[3] Algoritmus pro stanovení horní meze Laplaceova dělitele není v současnosti znám, a proto obecně může být existence Laplaceova dělitele nerozhodná

Rozklad lineárních parciálních diferenciálních rovnic druhého řádu v rovině

Použitím výše uvedených konceptů lze Loewyho teorii zobecnit na lineární PDE. Zde se aplikuje na jednotlivé lineární PDE druhého řádu v rovině se souřadnicemi ${ displaystyle x}$ a ${ displaystyle y}$a hlavní ideály generované odpovídajícími operátory.

Rovnice druhého řádu byly v literatuře 19. století značně zvažovány.^[11][12] Obvykle rovnice s předními derivacemi ${ displaystyle částečné _ {xx}}$ nebo ${ displaystyle částečné _ {xy}}$ se rozlišují. Jejich obecná řešení obsahují nejen konstanty, ale i neurčené funkce různého počtu argumentů; jejich stanovení je součástí postupu řešení. Pro rovnice s úvodní derivací ${ displaystyle částečné _ {xx}}$ Výsledky Loewyho lze zobecnit následovně.

Věta 2Nechte operátor diferenciálu ${ displaystyle L}$ být definován

 ${ displaystyle L  equiv  částečné _ {xx} + A_ {1}  částečné _ {xy} + A_ {2}  částečné _ {yy} + A_ {3}  částečné _ {x} + A_ {4}  částečné _ {y} + A_ {5}}$ kde ${ displaystyle A_ {i}  v { mathbb {Q}} (x, y)}$ pro všechny ${ displaystyle i}$.

Nechat ${ displaystyle l_ {i} ekviv částečné _ {x} + a_ {i} částečné _ {y} + b_ {i}}$ pro ${ displaystyle i = 1}$ a ${ displaystyle i = 2}$, a ${ displaystyle l ( Phi) ekviv částečné _ {x} + a částečné _ {y} + b ( Phi)}$ být operátory prvního řádu s ${ displaystyle a_ {i}, b_ {i}, a in { mathbb {Q}} (x, y)}$; ${ displaystyle Phi}$ je neurčená funkce jediného argumentu ${ displaystyle L}$ má Loewyho rozklad podle jednoho z následujících typů.

${ displaystyle { mathcal {L}} _ {xx} ^ {1}: L = l_ {2} l_ {1};}$  ${ displaystyle { mathcal {L}} _ {xx} ^ {2}: L = Lclm (l_ {2}, l_ {1});}$  ${ displaystyle { mathcal {L}} _ {xx} ^ {3}: L = Lclm (l ( Phi)).}$

Typ rozkladu operátoru ${ displaystyle L}$ je rozklad ${ displaystyle { mathcal {L}} _ {xx} ^ {i}}$ s nejvyšší hodnotou ${ displaystyle i}$. Li ${ displaystyle L}$ nemá v základním poli žádný faktor prvního řádu, jeho typ rozkladu je definován jako ${ displaystyle { mathcal {L}} _ {xx} ^ {0}}$. Rozklady ${ displaystyle { mathcal {L}} _ {xx} ^ {0}}$, ${ displaystyle { mathcal {L}} _ {xx} ^ {2}}$ a ${ displaystyle { mathcal {L}} _ {xx} ^ {3}}$ jsou zcela redukovatelné.

Aby bylo možné použít tento výsledek pro řešení jakékoli dané diferenciální rovnice zahrnující operátor ${ displaystyle L}$ vyvstává otázka, zda lze faktory prvního řádu určit algoritmicky. Následující důsledek poskytuje odpověď na faktory s koeficienty buď v základním poli, nebo v univerzálním poli rozšíření.

Důsledek 3Obecně platí, že faktory prvního řádu lineárního PDE v základním poli nelze určit algoritmicky. Pokud je polynom symbolu oddělitelný, lze určit jakýkoli faktor. Pokud má obecně dvojitý kořen, není možné určit správné faktory v základním poli. O existenci faktorů v univerzálním poli, tj. Absolutní neredukovatelnosti, lze vždy rozhodnout.

Výše uvedená věta může být použita pro řešení redukovatelných rovnic v uzavřené formě. Protože se jedná pouze o hlavní dělitele, odpověď je podobná jako u běžných rovnic druhého řádu.

Tvrzení 1Nechť je redukovatelná rovnice druhého řádu

${ displaystyle Lz  equiv z_ {xx} + A_ {1} z_ {xy} + A_ {2} z_ {yy} + A_ {3} z_ {x} + A_ {4} z_ {y} + A_ {5 } z = 0}$ kde ${ displaystyle A_ {1},  ldots, A_ {5}  in { mathbb {Q}} (x, y)}$.

Definovat ${ displaystyle l_ {i} equiv částečné _ {x} + a_ {i} částečné _ {y} + b_ {i}}$, ${ displaystyle a_ {i}, b_ {i} v { mathbb {Q}} (x, y)}$ pro ${ displaystyle i = 1,2}$; ${ displaystyle varphi _ {i} (x, y) = const}$ je racionální první integrál ${ displaystyle { frac {dy} {dx}} = a_ {i} (x, y)}$; ${ displaystyle { bar {y}} equiv varphi _ {i} (x, y)}$ a inverzní ${ displaystyle y = psi _ {i} (x, { bar {y}})}$; oba ${ displaystyle varphi _ {i}}$ a ${ displaystyle psi _ {i}}$ se předpokládá, že existují. Dále definujte

${ displaystyle { mathcal {E}} _ {i} (x, y) equiv exp { Big (} - { displaystyle int} b_ {i} (x, y) { big |} _ {y = psi _ {i} (x, { bar {y}})} dx { Big)} { Big |} _ {{ bar {y}} = varphi _ {i} (x , y)}}$ pro ${ displaystyle i = 1,2}$.

Diferenciální základní systém má následující strukturu pro různé rozklady na komponenty prvního řádu.

${ displaystyle { mathcal {L}} _ {xx} ^ {1}: z_ {1} (x, y) = { mathcal {E}} _ {1} (x, y) F_ {1} ( varphi _ {1})}$,${ displaystyle z_ {2} (x, y) = { mathcal {E}} _ {1} (x, y) { displaystyle int} { frac {{ mathcal {E}} _ {2} (x, y)} {{ mathcal {E}} _ {1} (x, y)}} F_ {2} { big (} varphi _ {2} (x, y) { big)} { big |} _ {y = psi _ {1} (x, { bar {y}})} dx { Big |} _ {{ bar {y}} = varphi _ {1} ( x, y)};}$

${ displaystyle { mathcal {L}} _ {xx} ^ {2}: z_ {i} (x, y) = { mathcal {E}} _ {i} (x, y) F_ {i} { big (} varphi _ {i} (x, y) { big)}, i = 1,2;}$

${ displaystyle { mathcal {L}} _ {xx} ^ {3}: z_ {i} (x, y) = { mathcal {E}} _ {i} (x, y) F_ {i} { big (} varphi (x, y) { big)}, i = 1,2.}$

The ${ displaystyle F_ {i}}$ jsou neurčené funkce jednoho argumentu; ${ displaystyle varphi}$,${ displaystyle varphi _ {1}}$ a ${ displaystyle varphi _ {2}}$ jsou racionální ve všech argumentech; ${ displaystyle psi _ {1}}$ předpokládá se, že existuje. Obecně ${ displaystyle varphi _ {1} neq varphi _ {2}}$, jsou určeny koeficienty ${ displaystyle A_ {1}}$, ${ displaystyle A_ {2}}$ a ${ displaystyle A_ {3}}$ dané rovnice.

Typickým příkladem lineárního PDE, kde platí faktorizace, je rovnice, kterou diskutoval Forsyth,^[13]sv. VI, strana 16,

Příklad 5 (Forsyth 1906)} Uvažujme o diferenciální rovnici${ displaystyle z_ {xx} -z_ {yy} + { frac {4} {x + y}} z_ {x} = 0}$. Po faktorizaci reprezentace

${ displaystyle Lz equiv l_ {2} l_ {1} z = { Big (} částečné _ {x} + částečné _ {y} + { frac {2} {x + y}} { velké )} { Big (} částečné _ {x} - částečné _ {y} + { frac {2} {x + y}} { velké)} z = 0}$je získáno. Následuje

${ displaystyle varphi _ {1} (x, y) = x + y, psi _ {1} (x, y) = { bar {y}} - x, { mathcal {E}} _ { 1} (x, y) = exp {{ Big (} { frac {2y} {x + y}} { Big)}}}$,

${ displaystyle varphi _ {2} (x, y) = xy, psi _ {2} (x, y) = x - { bar {y}}, { mathcal {E}} _ {2} (x, y) = - { frac {1} {x + y}}.}$

V důsledku toho je diferenciální základní systém

${ displaystyle z_ {1} (x, y) = exp {{ Big (} { frac {2y} {x + y}} { Big)}} F (x + y),}$${ displaystyle z_ {2} (x, y) = { frac {1} {x + y}} exp {{ Big (} { frac {2y} {x + y}} { Big)} } { displaystyle int} exp {{ Big (} { frac {2x - { bar {y}}} { bar {y}}} { Big)}} G (2x - { bar {y}}) dx { Big |} _ {{ bar {y}} = x + y}.}$

${ displaystyle F}$ a ${ displaystyle G}$ jsou neurčené funkce.

Pokud je jediný derivát druhého řádu operátora ${ displaystyle částečné _ {xy}}$, jeho možné rozklady zahrnující pouze hlavní dělitele lze popsat následovně.

Věta 3Nechte operátor diferenciálu ${ displaystyle L}$ být definován

${ displaystyle L equiv částečné _ {xy} + A_ {1} částečné _ {x} + A_ {2} částečné _ {y} + A_ {3}}$ kde ${ displaystyle A_ {i} v { mathbb {Q}} (x, y)}$ pro všechny ${ displaystyle i}$.

Nechat ${ displaystyle l equiv částečné _ {x} + A_ {2}}$ a ${ displaystyle k equiv částečné _ {y} + A_ {1}}$ jsou operátoři prvního řádu. ${ displaystyle L}$ má Loewyho rozklady zahrnující hlavní dělitele prvního řádu následující formy.

${ displaystyle { mathcal {L}} _ {xy} ^ {1}: L = kl;}$   ${ displaystyle { mathcal {L}} _ {xy} ^ {2}: L = lk;}$  ${ displaystyle { mathcal {L}} _ {xy} ^ {3}: L = Lclm (k, l).}$

Typ rozkladu operátoru ${ displaystyle L}$ je rozklad ${ displaystyle { mathcal {L}} _ {xy} ^ {i}}$ s nejvyšší hodnotou${ displaystyle i}$. Rozklad typu ${ displaystyle { mathcal {L}} _ {xy} ^ {3}}$ je zcela redukovatelný

Kromě toho existuje dalších pět možných typů rozkladu zahrnujících dělitele non-principalLaplace, jak je znázorněno dále.

Věta 4Nechte operátor diferenciálu ${ displaystyle L}$ být definován

${ displaystyle L equiv částečné _ {xy} + A_ {1} částečné _ {x} + A_ {2} částečné _ {y} + A_ {3}}$ kde ${ displaystyle A_ {i} v { mathbb {Q}} (x, y)}$ pro všechny ${ displaystyle i}$.

${ displaystyle mathbb {L} _ {x ^ {m}} (L)}$ a ${ displaystyle mathbb {L} _ {y ^ {n}} (L)}$ stejně jako ${ displaystyle { mathfrak {l}} _ {m}}$ a ${ displaystyle { mathfrak {k}} _ {n}}$ jsou definovány výše; dále ${ displaystyle l equiv částečné _ {x} + a}$, ${ displaystyle k equiv částečné _ {y} + b}$,${ displaystyle a, b in { mathbb {Q}} (x, y)}$. ${ displaystyle L}$ má Loewyho rozklady zahrnující Laplaceovy dělitele podle jednoho z následujících typů; ${ displaystyle m}$ a ${ displaystyle n}$ poslouchat ${ displaystyle m, n geq 2}$.

${ displaystyle { mathcal {L}} _ {xy} ^ {4}: L = Lclm { big (} mathbb {L} _ {x ^ {m}} (L), mathbb {L} _ {y ^ {n}} (L) { big)};}$

${ displaystyle { mathcal {L}} _ {xy} ^ {5}: L = Exquo { big (} L, mathbb {L} _ {x ^ {m}} (L) { big)} mathbb {L} _ {x ^ {m}} (L) = left ({ begin {pole} {cc} 1 & 0 0 & částečné _ {y} + A_ {1} end {pole}} right) left ({ begin {array} {c} L { mathfrak {l}} _ {m} end {array}} right);}$

${ displaystyle { mathcal {L}} _ {xy} ^ {6}: L = Exquo { big (} L, mathbb {L} _ {y ^ {n}} (L) { big)} mathbb {L} _ {y ^ {n}} (L) = left ({ begin {pole} {cc} 1 & 0 0 & částečné _ {x} + A_ {2} end {pole}} right) left ({ begin {array} {c} L { mathfrak {k}} _ {n} end {array}} right);}$

${ displaystyle { mathcal {L}} _ {xy} ^ {7}: L = Lclm { big (} k, mathbb {L} _ {x ^ {m}} (L) { big)} ;}$${ displaystyle { mathcal {L}} _ {xy} ^ {8}: L = Lclm { big (} l, mathbb {L} _ {y ^ {n}} (L) { big)} .}$

Li ${ displaystyle L}$ nemá správný faktor prvního řádu a lze ukázat, že Laplaceův dělitel neexistuje, jeho typ rozkladu je definován jako ${ displaystyle { mathcal {L}} _ {xy} ^ {0}}$. Rozklady ${ displaystyle { mathcal {L}} _ {xy} ^ {0}}$, ${ displaystyle { mathcal {L}} _ {xy} ^ {4}}$, ${ displaystyle { mathcal {L}} _ {xy} ^ {7}}$ a ${ displaystyle { mathcal {L}} _ {xy} ^ {8}}$ jsou zcela redukovatelné.

Rovnice, která neumožňuje rozklad zahrnující hlavní dělitele, ale je zcela redukovatelná w.r.t. jiné než hlavní Laplaceovy dělitele typu ${ displaystyle { mathcal {L}} _ {xy} ^ {4}}$ byla považována Forsythem.

Příklad 6 (Forsyth 1906) Definujte

${ displaystyle L equiv částečné _ {xy} + { frac {2} {xy}} částečné _ {x} - { frac {2} {xy}} částečné _ {y} - { frac {4} {(xy) ^ {2}}}}$

generování hlavního ideálu ${ displaystyle langle L rangle}$. Faktor prvního řádu neexistuje. Existují však dělitele Laplace

${ displaystyle { mathbb {L}} _ {x ^ {2}} (L)  equiv {{ Big  langle} { Big  langle}}  částečné _ {xx} - { frac {2} {xy}}  částečné _ {x} + { frac {2} {(xy) ^ {2}}}, L {{ Big  rangle} { Big  rangle}}}$ a ${ displaystyle { mathbb {L}} _ {y ^ {2}} (L)  equiv {{ Big  langle} { Big  langle}} L,  částečné _ {yy} + { frac { 2} {xy}}  částečné _ {y} + { frac {2} {(xy) ^ {2}}} {{ Big  rangle} { Big  rangle}}.}$

Ideál generovaný ${ displaystyle L}$ má zastoupení${ displaystyle langle L rangle = Lclm { big (} { mathbb {L}} _ {x ^ {2}} (L), { mathbb {L}} _ {y ^ {2}} ( L) { big)}}$tj. je zcela redukovatelný; jeho typ rozkladu je ${ displaystyle { mathcal {L}} _ {xy} ^ {4}}$. Proto rovnice ${ displaystyle Lz = 0}$ má diferenciální základní systém

${ displaystyle z_ {1} (x, y) = 2 (x-y) F (y) + (x-y) ^ {2} F '(y)}$ a ${ displaystyle z_ {2} (x, y) = 2 (y-x) G (x) + (y-x) ^ {2} G '(x)}$.

Rozkládající se lineární PDE řádu vyšší než 2

Ukazuje se, že operátoři vyššího řádu mají komplikovanější rozklady a existuje více alternativ, mnoho z nich, pokud jde o jiné než hlavní dělitele. Řešení odpovídajících rovnic je složitější. Pro rovnice řádu tři v rovině lze nalézt poměrně úplnou odpověď.^[2] Typickým příkladem rovnice třetího řádu, která je také historicky zajímavá, je Blumberg.^[14]

Příklad 7 (Blumberg 1912) Ve své disertační práci Blumberg považoval operátora třetího řádu

${ displaystyle L ekviv částečné _ {xxx} + x částečné _ {xxy} +2 částečné _ {xx} +2 (x + 1) částečné _ {xy} + částečné _ {x} + ( x + 2) částečné _ {y}}$.

Umožňuje dva faktory prvního řádu ${ displaystyle l_ {1} equiv částečné _ {x} +1}$ a ${ displaystyle l_ {2} equiv částečné _ {x} + x částečné _ {y}}$. Jejich průsečík není hlavní; definování

${ displaystyle L_ {1} ekviv částečný _ {xxx} -x ^ {2} částečný _ {xyy} +3 částečný _ {xx} + (2x + 3) částečný _ {xy} -x ^ {2} částečné _ {yy} +2 částečné _ {x} + (2x + 3) částečné _ {y}}$

${ displaystyle L_ {2} equiv částečné _ {xxy} + x částečné _ {xyy} - { frac {1} {x}} částečné _ {xx} - { frac {1} {x} } částečné _ {xy} + x částečné _ {y} y - { frac {1} {x}} částečné _ {x} - { big (} 1 + { frac {1} {x} } { big)} částečné _ {y} {{ big rangle} { big rangle}}.}$

to může být psáno jako ${ displaystyle Lclm (l_ {2}, l_ {1}) = { langle langle} L_ {1}, L_ {2} { rangle rangle}}$Následkem toho je Loewyho rozklad Blumbergsova operátoru

${ displaystyle L = left ({ begin {array} {cc} 1 & x 0 & částečné _ {x} +1 + { frac {1} {x}} end {pole}} vpravo) vlevo ({ begin {array} {c} L_ {1} L_ {2} end {array}} right).}$

Poskytuje následující diferenciální základní systém pro diferenciální rovnici ${ displaystyle Lz = 0}$.

${ displaystyle z_ {1} (x, y) = F (y - { frac {1} {2}} x ^ {2})}$,  ${ displaystyle z_ {2} (x, y) = G (y) e ^ {- x}}$,  ${ displaystyle z_ {3} (x, y) = { displaystyle int} xe ^ {- x} H { big (} { bar {y}} + { frac {1} {2}} x ^ {2} { big)} dx { Big |} _ {{ bar {y}} = y - { frac {1} {2}} x ^ {2}}}$

${ displaystyle F, G}$ a ${ displaystyle H}$ jsou neurčené funkce.

Faktorizace a Loewyho rozklady se ukázaly jako mimořádně užitečná metoda pro určování řešení lineárních diferenciálních rovnic v uzavřené formě, jak pro obyčejné, tak pro parciální rovnice. Mělo by být možné tyto metody zobecnit na rovnice vyššího řádu, rovnice ve více proměnných a soustavu diferenciálních rovnic.

Reference