Janet základ - Janet basis

V matematice, a Janet základ je normální forma pro systémy lineární homogenní parciální diferenciální rovnice (PDE), která odstraňuje inherentní libovolnost jakéhokoli takového systému. To bylo představeno v roce 1920 Maurice Janet.^[1] Poprvé byl nazýván základem Janet od Fritze Schwarze v roce 1998.^[2]

Levé strany těchto soustav rovnic lze považovat za diferenciální polynomy prstence a Janetina normální forma jako speciální základ ideálu, který generují. Zneužíváním jazyka bude tato terminologie aplikována jak na původní systém, tak na ideál diferenciálních polynomů generovaných na levé straně. Základ Janet je předchůdcem a Gröbnerův základ představil Bruno Buchberger^[3] pro polynomiální ideály. Aby bylo možné vytvořit základ Janet pro jakýkoli daný systém lineárních PDE, je třeba uvést pořadí jeho derivátů; pak je odpovídající základ Janet jedinečný. Pokud je systém lineárních PDE uveden jako Janetův základ, lze snadno určit jeho diferenciální rozměr; je měřítkem míry neurčitosti jejího obecného řešení. Za účelem vygenerování a Výpadný rozklad systému lineárních PDE je třeba nejprve určit jeho Janetův základ.

Generování základu Janet

Jakýkoli systém lineárních homogenních PDE je vysoce nejedinečný, např. libovolná lineární kombinace jeho prvků může být přidána do systému bez změny jeho sady řešení. A priori není známo, zda má nějaká netriviální řešení. Obecněji není míra libovolnosti jeho obecného řešení známa, tj. Kolik neurčených konstant nebo funkcí může obsahovat. Tyto otázky byly výchozím bodem Janetiny práce; uvažoval o systémech lineárních PDE v libovolném počtu závislých a nezávislých proměnných a vytvořil pro ně normální formu. Zde jsou hlavně lineární PDE v rovině se souřadnicemi ${ displaystyle x}$ a ${ displaystyle y}$ bude zváženo; počet neznámých funkcí je jedna nebo dvě. Většina zde popsaných výsledků může být zjevným způsobem zobecněna na libovolný počet proměnných nebo funkcí.^[4][5][6]Aby bylo možné generovat jedinečnou reprezentaci pro daný systém lineárních PDE, musí být nejprve definováno pořadí jeho derivátů.

DefinicePořadí derivátů je celkové pořadí takové, že pro jakékoli dva deriváty ${ displaystyle delta}$, ${ displaystyle delta _ {1}}$ a${ displaystyle delta _ {2}}$a jakýkoli operátor odvození ${ displaystyle theta}$ vztahy ${ displaystyle delta leq theta delta}$ a${ displaystyle delta _ {1} leq delta _ {2} rightarrow delta delta _ {1} leq delta delta _ {2}}$ jsou platné.

Derivát ${ displaystyle delta _ {2}}$ je nazýván vyšší než ${ displaystyle delta _ {1}}$ -li ${ displaystyle delta _ {2}> delta _ {1}}$. Nejvyšší derivát v rovnici se nazývá jeho přední derivát. Pro deriváty až do pořadí dva z jedné funkce ${ displaystyle z}$ záleží na ${ displaystyle x}$ a ${ displaystyle y}$ s ${ displaystyle x> y}$ dvě možné objednávky jsou

the ${ displaystyle LEX}$ objednat ${ displaystyle z_ {xx}> z_ {xy}> z_ {x}> z_ {yy}> z_ {y}> z}$ a ${ displaystyle GRLEX}$ objednat ${ displaystyle z_ {xx}> z_ {xy}> z_ {yy}> z_ {x}> z_ {y}> z}$.

Zde obvyklá notace ${ displaystyle částečné _ {x} z = z_ {x}, částečné _ {y} z = z_ {y}, ldots}$ se používá. Pokud je počet funkcí vyšší než jedna, musí být tato uspořádání odpovídajícím způsobem zobecněna, např. objednávky ${ displaystyle TOP}$ nebo ${ displaystyle POT}$ mohou být použity.^[7]První základní operace, která se použije při generování základu Janet, je snížení rovnice ${ displaystyle e_ {1}}$ w.r.t. další ${ displaystyle e_ {2}}$. Hovorově to znamená následující: Kdykoli derivát ${ displaystyle e_ {1}}$ lze získat z předního derivátu ${ displaystyle e_ {2}}$ vhodnou diferenciací se tato diferenciace provede a od výsledku se odečte ${ displaystyle e_ {1}}$. Redukce w.r.t. systém redukce prostředků PDE w.r.t. všechny prvky systému. Je nazýván systém lineárních PDE autoreduced pokud byla provedena všechna možná snížení.

Druhou základní operací pro generování základu Janet je zahrnutí podmínky integrability. Získají se takto: Pokud dvě rovnice ${ displaystyle e_ {1}}$ a ${ displaystyle e_ {2}}$ jsou takové, že pomocí vhodných diferenciací lze získat dvě nové rovnice s podobnými předními derivacemi, křížovým násobením s jejich předními koeficienty a odečtením výsledných rovnic se získá nová rovnice, která se nazývá podmínka integrability. Pokud redukcí w.r.t. zbývající rovnice systému nezmizí, je zahrnuto jako nová rovnice systému.

Může se ukázat, že opakování těchto operací vždy končí po konečném počtu kroků s jedinečnou odpovědí, která se nazývá Janet základna pro vstupní systém. Janet je uspořádala podle následujícího algoritmu.

Janetin algoritmus Vzhledem k systému lineárních diferenciálních polynomů ${ displaystyle S equiv {e_ {1}, e_ {2}, ldots }}$, základ Janet odpovídá ${ displaystyle S}$ je vrácen.

S1: (Autoredukce) Přiřadit ${ displaystyle S: = operatorname {Autoreduce} (S)}$

S2: (Dokončení) Přiřadit ${ displaystyle S: = operatorname {CompleteSystem} (S)}$

S3: (Podmínky integrovatelnosti) Najděte všechny páry vedoucích výrazů ${ displaystyle v_ {i}}$ z ${ displaystyle e_ {i}}$ a ${ displaystyle v_ {j}}$ z ${ displaystyle e_ {j}}$ taková, že diferenciace w.r.t. ne multiplikátor ${ displaystyle x_ {i_ {k}}}$ a multiplikátory ${ displaystyle x_ {j_ {1}}, ldots, x_ {j_ {l}}}$ vede k

${ displaystyle { frac { částečné v_ {i}} { částečné x_ {i_ {k}}}} = { frac { částečné ^ {p_ {1} + cdots + p_ {l}} v_ { j}} { částečné x_ {j_ {1}} ^ {p_ {1}} cdots částečné x_ {j_ {l}} ^ {p_ {l}}}}}$

a určit podmínky integrability

${ displaystyle c_ {i, j} = operatorname {Lcoef} (e_ {j}) cdot { frac { parciální e_ {i}} { parciální x_ {i_ {k}}}} - operatorname { Lcoef} (e_ {i}) cdot { frac { částečné ^ {p_ {1} + cdots + p_ {l}} e_ {j}} { částečné x_ {j_ {1}} ^ {p_ { 1}} cdots částečné x_ {j_ {l}} ^ {p_ {l}}}}}$

S4: (Snížení podmínek integrovatelnosti). Pro všechny ${ displaystyle c_ {i, j}}$ přiřadit ${ displaystyle c_ {i, j}: = operatorname {zmenšit} (c_ {i, j}, S)}$

S5: (Ukončení?) Padám ${ displaystyle c_ {i, j}}$ jsou nulové ${ displaystyle S}$, jinak proveďte přiřazení ${ displaystyle S: = S pohár {c_ {i, j} střední c_ {i, j} neq 0 }}$, přeobjednat ${ displaystyle S}$ správně a přejděte na S1

Tady ${ displaystyle Autoreduce}$ je subalgoritmus, který vrací svůj argument se všemi možnými provedenými redukcemi, ${ displaystyle Dokončení}$ přidá do systému určité rovnice, aby usnadnil stanovení podmínek integrability. Za tímto účelem se proměnné dělí na multiplikátory a ne multiplikátory; podrobnosti lze najít ve výše uvedených odkazech. Po úspěšném ukončení bude vrácena základna Janet pro vstupní systém.

Příklad 1 Nechte systém ${ displaystyle left {e_ {1} equiv z_ {xy} - { frac {x ^ {2}} {y ^ {2}}} z_ {x} - { frac {xy} {y ^ {2}}} z = 0, e_ {2} ekviv z_ {x} + { frac {1} {x}} z_ {y} + xz = 0 doprava }}$ při objednávce ${ displaystyle GRLEX}$ a ${ displaystyle x> y}$. Krok S1 vrací autoredukovaný systém

${ displaystyle left {e_ {3} equiv z_ {yy} + { frac {1} {y ^ {2}}} (xy ^ {3} -x ^ {2} -y) z_ {y } - { frac {1} {y}} (x ^ {3} -x + y) z = 0, e_ {2} = z_ {x} + { frac {1} {y}} z_ {y } + xz = 0 vpravo }.}$

Kroky S3 a S4 generují podmínku integrovatelnosti ${ displaystyle c_ {3,2} equiv { frac { částečné e_ {3}} { částečné x}} - { frac { částečné ^ {2} e_ {2}} { částečné y ^ { 2}}}}$ a redukuje to na ${ displaystyle z = 0}$, tj. základ Janet pro původně daný systém je ${ displaystyle {z = 0 }}$ s triviálním řešením ${ displaystyle z = 0}$.

Další příklad zahrnuje dvě neznámé funkce ${ displaystyle w}$ a ${ displaystyle z}$, v závislosti na ${ displaystyle x}$ a ${ displaystyle y}$.

Příklad 2 Zvažte systém

${ displaystyle { begin {aligned} { Big {} & f_ {1} equiv w_ {xx} -2z_ {xy} - { frac {1} {2x}} w_ {x} + { frac { 1} {2x ^ {2}}} w = 0, f_ {2} equiv w_ {xy} - { frac {1} {2}} z_ {yy} - { frac {1} {2x}} w_ {y} -6x ^ {2} z_ {x}, [5pt] & f_ {3} equiv w_ {yy} + 4x ^ {2} w_ {x} -8x ^ {2} z_ {y} -8xw = 0, f_ {4} equiv z_ {xx} + { frac {1} {2x}} z_ {x} = 0 { Big }} end {zarovnáno}}}$

v ${ displaystyle GRLEX, w> z, x> y}$ objednávání. Systém je již autoredukován, tj. Krok S1 jej vrátí beze změny. Krok S3 generuje dvě podmínky integrability

${ displaystyle c_ {1,2} equiv { frac { částečné f_ {1}} { částečné y}} - { frac { částečné f_ {2}} { částečné x}} { text { and}} c_ {2,3} equiv { frac { částečný f_ {2}} { částečný y}} - { frac { částečný f_ {3}} { částečný x}}.}$

Po redukci v kroku S4 jsou

${ displaystyle c_ {1,2} = z_ {xyy} -6xz_ {x} = 0, c_ {2,3} = z_ {yyy} + 3x ^ {2} z_ {xy} -24xz_ {y} -12w = 0.}$

V kroku S5 jsou zahrnuty do systému a algoritmy začínají znovu krokem S1 s rozšířeným systémem. Po několika dalších iteracích konečně základ Janet

${ displaystyle left {z_ {y} + { frac {1} {2x}} w = 0, z_ {x} = 0, w_ {y} = 0, w_ {x} - { frac {1 } {x}} w = 0 vpravo }}$

je získáno. Poskytuje obecné řešení ${ displaystyle z = C_ {1} -C_ {2} x, w = 2C_ {2} y}$ se dvěma neurčenými konstantami ${ displaystyle C_ {1}}$ a ${ displaystyle C_ {2}}$.

Aplikace základen Janet

Nejdůležitější aplikací Janetovy báze je její použití pro rozhodování o míře neurčitosti systému lineárních homogenních parciálních diferenciálních rovnic. Odpověď ve výše uvedeném příkladu 1 je, že uvažovaný systém umožňuje pouze triviální řešení. Ve druhém příkladu 2 se získá prostor dvojrozměrného řešení. Obecně může být odpověď více zapojena, v obecném řešení může být nekonečně mnoho volných konstant; mohou být získány z Loewyho rozkladu příslušného základu Janet.^[8] Kromě toho základ Janet modulu umožňuje odečíst základ Janet pro modul syzygy.^[5]

Janetův algoritmus byl implementován v Maple.^[9]

externí odkazy

• www.alltypes.de - Implementace základu Janet

Reference