Lochssova věta - Lochss theorem - Wikipedia

v teorie čísel, Lochsova věta je věta o rychlosti konvergence pokračující zlomek rozšíření typického reálného čísla. Důkaz věty zveřejnil Gustav Lochs v roce 1964.^[1]

Věta říká, že pro téměř všechny reálná čísla v intervalu (0,1), počet členů m z pokračujícího rozšiřování zlomků čísla, které jsou potřebné k určení první n chová se desetinná místa čísla asymptoticky jak následuje:

${ displaystyle lim _ {n to infty} { frac {m} {n}} = { frac {6 ln (2) ln (10)} { pi ^ {2}}} přibližně 0,97027014}$ (sekvence A086819 v OEIS ).^[2]

Protože tento limit je jen o něco menší než 1, lze to interpretovat tak, že každý další člen v pokračujícím zlomkovém vyjádření „typického“ reálného čísla zvyšuje přesnost znázornění přibližně o jedno desetinné místo. The desetinný systém je poslední poziční systém pro které každá číslice nese méně informací než jeden podíl zlomku; chystat se základna-11 (měnící se ${ displaystyle ln (10)}$ na ${ displaystyle ln (11)}$ v rovnici) činí výše uvedenou hodnotu vyšší než 1.

Reciproční tohoto limitu,

${ displaystyle { frac { pi ^ {2}} {6 ln (2) ln (10)}} přibližně 1,03064083}$ (sekvence A062542 v OEIS ),

je dvojnásobek základního 10 logaritmu Lévyho konstanta.

Tři typická čísla a Zlatý řez. Typická čísla sledují přibližně 45 ° čáru, protože každý pokračující zlomkový koeficient dává přibližně jednu desetinnou číslici. Zlatý řez, na druhé straně, je číslo vyžadující nejvíce koeficientů pro každou číslici.

Prominentním příkladem čísla, které toto chování nevykazuje, je Zlatý řez - někdy známé jako „nejracionálnější "číslo - jehož spojité zlomkové členy jsou všechny, nejmenší možné v kanonické podobě. V průměru vyžaduje přibližně 2,39 pokračujících zlomkových členů na desetinnou číslici."^[3]

Reference