Linearizovaný polynom - Linearised polynomial

V matematice, a linearizovaný polynom (nebo q- polynomial) je a polynomiální pro které jsou exponenty všech složek monomials jsou pravomoci q a koeficienty pocházejí z nějakého rozšiřujícího pole konečné pole řádu q.

Typický příklad píšeme jako

${ displaystyle L (x) = součet _ {i = 0} ^ {n} a_ {i} x ^ {q ^ {i}}, { text {kde každý}} a_ {i} { text { je in}} F_ {q ^ {m}} ({ text {=}} GF (q ^ {m})) { text {pro nějaké pevné kladné celé číslo}} m.}$

Tato speciální třída polynomů je důležitá z teoretického i aplikačního hlediska.^[1] Díky vysoce strukturované povaze jejich kořenů lze tyto kořeny snadno určit.

Vlastnosti

• Mapa X → L(X) je lineární mapa přes jakékoli pole obsahující F_q
• Soubor kořenů L je F_q-vektorový prostor a je uzavřen pod q-Mapa Frobenius
• Naopak, pokud U je jakýkoli F_q-lineární podprostor nějakého konečného pole obsahujícího F_q, pak polynom, který zmizí přesně U je linearizovaný polynom.
• Sada linearizovaných polynomů nad daným polem je uzavřena přidáním a složením polynomů.
• Li L je nenulový linearizovaný polynom nad ${ displaystyle F_ {q ^ {n}}}$ se všemi jeho kořeny ležící v poli ${ displaystyle F_ {q ^ {s}}}$ rozšiřující pole ${ displaystyle F_ {q ^ {n}}}$, pak každý kořen L má stejnou multiplicitu, která je buď 1, nebo kladnou mocninu q.^[2]

Symbolické násobení

Obecně platí, že produkt dvou linearizovaných polynomů nebude linearizovaný polynom, ale protože složení dvou linearizovaných polynomů má za následek linearizovaný polynom, lze kompozici použít jako náhradu za násobení, a proto se složení často nazývá symbolické násobení v tomto nastavení. Notačně, pokud L₁(X) a L₂(X) jsou linearizované polynomy, které definujeme

${ Displaystyle L_ {1} (x) otimes L_ {2} (x) = L_ {1} (L_ {2} (x))}$

když se bere tento úhel pohledu.

Přidružené polynomy

Polynomy L(X) a

${ displaystyle l (x) = součet _ {i = 0} ^ {n} a_ {i} x ^ {i} }$

jsou q - spolupracovníci (poznámka: exponenty "qⁱ „z L(X) byly nahrazeny „i" v l(X)). Konkrétněji, l (x} se nazývá konvenční q-spolupracovník z L (x), a L (x) je linearizovaný q-spolupracovník z l (x).

q-polynomy skončily F_q

Lineární polynomy s koeficienty v F_q mají další vlastnosti, které umožňují definovat symbolické dělení, symbolickou redukovatelnost a symbolickou faktorizaci. Dva důležité příklady tohoto typu linearizovaného polynomu jsou Frobeniův automorfismus ${ displaystyle x mapsto x ^ {q}}$ a sledovací funkce ${ displaystyle operatorname {Tr} (x) = součet _ {i = 0} ^ {n-1} x ^ {q ^ {i}}}$.

V tomto zvláštním případě lze prokázat, že jako úkon, symbolické násobení je komutativní, asociativní a distribuuje nad obyčejné sčítání.^[3] V tomto zvláštním případě můžeme také definovat činnost symbolické rozdělení. Li L(X) a L₁(X) jsou linearizované polynomy F_q, říkáme to L₁(X) symbolicky rozděluje L(X) pokud existuje linearizovaný polynom L₂(X) přes F_q pro který:

${ displaystyle L (x) = L_ {1} (x) často L_ {2} (x).}$

Li L₁(X) a L₂(X) jsou linearizované polynomy F_q s běžnými q-spolupracovníky l₁(X) a l₂(X) L₁(X) symbolicky rozděluje L₂(X) právě tehdy l₁(X) rozděluje l₂(X).^[4] Dále L₁(X) rozděluje L₂(X) v běžném slova smyslu v tomto případě.^[5]

Linearizovaný polynom L(X) přes F_q stupně> 1 je symbolicky neredukovatelné přes F_q pokud jsou jediné symbolické rozklady

${ displaystyle L (x) = L_ {1} (x) mnohokrát L_ {2} (x),}$

s L_i přes F_q jsou ty, u nichž má jeden z faktorů stupeň 1. Všimněte si, že symbolicky neredukovatelný polynom je vždy redukovatelný v běžném smyslu, protože jakýkoli linearizovaný polynom stupně> 1 má netriviální faktor X. Linearizovaný polynom L(X) přes F_q je symbolicky neredukovatelný, právě když je konvenční q-spolupracovník l(X) je neredukovatelný F_q.

Každý q-polynomiální L(X) přes F_q stupně> 1 má a symbolická faktorizace do symbolicky neredukovatelných polynomů F_q a tato faktorizace je v podstatě jedinečná (až do přeskupení faktorů a násobení nenulovými prvky z F_q.)

Například,^[6] zvažte 2-polynom L(X) = X¹⁶ + X⁸ + X² + X přes F₂ a jeho konvenční 2-spolupracovník l(X) = X⁴ + X³ + X + 1. Faktorizace na neredukovatelné l(X) = (X² + X + 1)(X + 1)² v F₂[X], udává symbolickou faktorizaci

${ displaystyle L (x) = (x ^ {4} + x ^ {2} + x) otimes (x ^ {2} + x) otimes (x ^ {2} + x).}$

Afinní polynomy

Nechat L být linearizovaný polynom nad ${ displaystyle F_ {q ^ {n}}}$. Polynom formy ${ displaystyle A (x) = L (x) - alpha { text {pro}} alpha ve F_ {q ^ {n}},}$ je afinní polynom přes ${ displaystyle F_ {q ^ {n}}}$.

Věta: Pokud A je nenulový afinní polynom nad ${ displaystyle F_ {q ^ {n}}}$ se všemi jeho kořeny ležící v poli ${ displaystyle F_ {q ^ {s}}}$ rozšiřující pole ${ displaystyle F_ {q ^ {n}}}$, pak každý kořen A má stejnou multiplicitu, která je buď 1, nebo kladnou mocninu q.^[7]

Poznámky

Reference

• Lidl, Rudolf; Niederreiter, Harald (1997). Konečná pole. Encyklopedie matematiky a její aplikace. 20 (2. vyd.). Cambridge University Press. ISBN  0-521-39231-4. Zbl  0866.11069.
• Mullen, Gary L .; Panario, Daniel (2013), Příručka konečných polí, Diskrétní matematika a její aplikace, Boca Raton: CRC Press, ISBN  978-1-4398-7378-6