Li Shanlan identita - Li Shanlan identity

v matematika, v kombinatorika, Li Shanlan identita (také zvaný Li Shanlanův součtový vzorec) je jisté kombinační identita přičítáno devatenáctému století Čínský matematik Li Shanlan.^[1] Protože Li Shanlan je také známý jako Li Renshu, tato identita se také označuje jako Identita Li Renshu.^[2] Tato identita se objevuje ve třetí kapitole Duoji bilei (垛 积 比 类 / 垛 積 比 纇, význam sčítání konečné řady), matematický text, jehož autorem byl Li Shanlan, publikovaný v roce 1867 jako součást jeho sebraných spisů. A čeština matematik Josef Kaucky publikoval v roce 1964 elementární důkaz identity spolu s historií identity.^[3] Kaucky připisoval identitu jistému Li Jen-Shu. Z popisu historie identity bylo zjištěno, že Li Jen-Shu je ve skutečnosti Li Shanlan.^[1] Západní učenci studovali čínskou matematiku kvůli její historické hodnotě; ale přisuzování této identity čínskému matematikovi z devatenáctého století vyvolalo přehodnocení matematické hodnoty spisů čínských matematiků.^[2]

„Na Západě si Li nejlépe pamatuje kombinatorický vzorec známý jako„ identita Li Renshu “, který odvodil pouze pomocí tradičních čínských matematických metod.“^[4]

Identita

Tvrdí to identita Li Shanlan

${ displaystyle sum _ {k = 0} ^ {p} {p zvolit k} ^ {2} {{n + 2p-k} zvolit {2p}} = {{n + p} zvolit p} ^ {2}}$.

Li Shanlan tímto způsobem nepředložil identitu. Prezentoval to tradičním čínským algoritmickým a rétorickým způsobem.^[5]

Důkazy totožnosti

Li Shanlan v roce nepředložil důkaz totožnosti Duoji bilei. První důkaz používající diferenciální rovnice a Legendrovy polynomy, koncepty cizí Shanlanovi, publikoval Pál Turán v roce 1936 a důkaz se objevil v čínštině v Yung Chang příspěvek publikovaný v roce 1939.^[2] Od té doby bylo nalezeno nejméně patnáct různých důkazů.^[2] Následuje jeden z nejjednodušších důkazů.^[6]

Důkaz začíná vyjádřením ${ displaystyle n vyberte q}$ tak jako Vandermondeova konvoluce:

${ displaystyle {n zvolit q} = součet _ {k = 0} ^ {q} {{n-p} zvolit k} {p zvolit {q-k}}}$

Přednásobení obou stran pomocí ${ displaystyle n vybrat p}$,

${ displaystyle {n zvolit p} {n zvolit q} = součet _ {k = 0} ^ {q} {n zvolit p} {{np} zvolit k} {p zvolit {qk}} }$.

Pomocí následujícího vztahu

${ displaystyle {n zvolit p} {{n-p} zvolit k} = {{p + k} zvolit k} {n zvolit {p + k}}}$

výše uvedený vztah lze transformovat na

${ displaystyle {n zvolit p} {n zvolit q} = součet _ {k = 0} ^ {q} {p zvolit {qk}} {{p + k} zvolit k} {n zvolit {p + k}}}$.

Dále vztah

${ displaystyle {p zvolit {q-k}} {{p + k} zvolit {k}} = {q zvolit k} {{p + k} zvolit {q}}}$

se používá k získání

${ displaystyle {n zvolit p} {n zvolit q} = součet _ {k = 0} ^ {q} {q zvolit k} {n zvolit {p + k}} {{p + k} zvolte q}}$.

Další aplikace konvoluce Vandermonde přináší

${ displaystyle {{p + k} zvolit q} = součet _ {j = 0} ^ {q} {p zvolit j} {k vybrat {q-j}}}$

a tudíž

${ displaystyle {n zvolit p} {n zvolit q} = součet _ {k = 0} ^ {q} {q zvolit k} {n zvolit {p + k}} součet _ {j = 0} ^ {q} {p select j} {k choose {qj}}}$

Od té doby ${ displaystyle p vyberte j}$ je nezávislý na k, to lze dát do formuláře

${ displaystyle {n vybrat p} {n zvolit q} = součet _ {j = 0} ^ {q} {p zvolit j} součet _ {k = 0} ^ {q} {q zvolit k} {n zvolit {p + k}} {k vybrat {qj}}}$

Dále výsledek

${ displaystyle {q zvolit k} {k vybrat {q-j}} = {q zvolit j} {j zvolit {q-k}}}$

dává

${ displaystyle {n vybrat p} {n zvolit q} = součet _ {j = 0} ^ {q} {p zvolit j} součet _ {k = 0} ^ {q} {q zvolit j} {j vybrat {qk}} {n zvolit {p + k}}}$

${ displaystyle = součet _ {j = 0} ^ {q} {p zvolit j} {q vybrat j} součet _ {k = 0} ^ {q} {j zvolit {qk}} {n zvolte {p + k}}}$

${ displaystyle = sum _ {j = 0} ^ {q} {p vybrat j} {q vybrat j} {{n + j} zvolit {p + q}}}$

Nastavení str = q a nahrazení j podle k,

${ displaystyle {n zvolit p} ^ {2} = součet _ {k = 0} ^ {p} {p zvolit k} ^ {2} {{n + k} zvolit {2p}}}$

Li identita vyplývá z toho nahrazením n podle n + str a provedení nějakého přeskupení výrazů ve výsledném výrazu:

${ displaystyle {{n + p} vybrat p} ^ {2} = součet _ {k = 0} ^ {p} {p zvolit k} ^ {2} {{n + 2p-k} zvolit {2p}}}$

Na Duoji bilei

Termín duoji označuje určitou tradiční čínskou metodu výpočtu součtů hromád. Většina matematiky vyvinuté v Číně od šestnáctého století souvisí s duoji metoda. Li Shanlan byl jedním z největších představitelů této metody a Duoji bilei je výkladem jeho práce týkající se této metody. Duoji bilei Skládá se ze čtyř kapitol: Kapitola 1 se zabývá trojúhelníkovými hromadami, Kapitola 2 s konečnými silovými řadami, Kapitola 3 s trojúhelníkovými samonásobitelnými hromadami a Kapitola 4 s upravenými trojúhelníkovými hromadami.^[7]

Reference