Lawrence – Krammerovo zastoupení - Lawrence–Krammer representation

v matematika the Lawrence – Krammerovo zastoupení je zastoupení z opletení skupiny. Hodí se do rodiny reprezentací nazývaných Lawrenceovy reprezentace. První Lawrenceovo zastoupení je Zastoupení Burau a druhým je zastoupení Lawrence – Krammer.

Reprezentace Lawrence – Krammer je pojmenována po Ruth Lawrence a Daan Krammer.^[1]

Definice

Zvažte skupina copu ${displaystyle B_ {n}}$ být skupina tříd mapování disku s n označené body, ${displaystyle P_ {n}}$. Reprezentace Lawrence – Krammer je definována jako působení ${displaystyle B_ {n}}$ o homologii určitého krytina prostor konfigurační prostor ${displaystyle C_ {2} P_ {n}}$. Konkrétně první integrál homologická skupina z ${displaystyle C_ {2} P_ {n}}$ je izomorfní s ${displaystyle mathbb {Z} ^ {n + 1}}$a podskupina ${displaystyle H_ {1} (C_ {2} P_ {n}, mathbb {Z})}$ invariantní pod akcí ${displaystyle B_ {n}}$ je primitivní, bezplatný abelian a má pořadí 2. Generátory pro tuto invariantní podskupinu jsou označeny ${displaystyle q, t}$.

Krycí prostor ${displaystyle C_ {2} P_ {n}}$ odpovídající jádru projekční mapy

${displaystyle pi _ {1} (C_ {2} P_ {n}) o mathbb {Z} ^ {2} langle q, tangle}$

se nazývá obálka Lawrence – Krammer a je označena ${displaystyle {overline {C_ {2} P_ {n}}}}$. Difeomorfismy z${displaystyle P_ {n}}$ jednat podle ${displaystyle P_ {n}}$, tedy také dále ${displaystyle C_ {2} P_ {n}}$, navíc se jedinečným způsobem zvedají k různoběžným formám ${displaystyle {overline {C_ {2} P_ {n}}}}$ které omezují identitu na ko-dimenzi dvou hraničních vrstev (kde jsou oba body na hraničním kruhu). Akce ${displaystyle B_ {n}}$ na

${displaystyle H_ {2} ({overline {C_ {2} P_ {n}}}, mathbb {Z}),}$

myšlenka jako

${displaystyle mathbb {Z} jazyk t ^ {pm}, q ^ {pm} úhel}$-modul,

je zastoupení Lawrence – Krammer. Skupina ${displaystyle H_ {2} ({overline {C_ {2} P_ {n}}}, mathbb {Z})}$ je známo, že je zdarma ${displaystyle mathbb {Z} jazyk t ^ {pm}, q ^ {pm} úhel}$- modul, hodnosti ${displaystyle n (n-1) / 2}$.

Matice

Pomocí Bigelowových konvencí pro reprezentaci Lawrence – Krammer, generátory pro skupinu ${displaystyle H_ {2} ({overline {C_ {2} P_ {n}}}, mathbb {Z})}$ jsou označeny ${displaystyle v_ {j, k}}$ pro ${displaystyle 1leq j$. Pronájem ${displaystyle sigma _ {i}}$ označují standardní Artin generátory skupina copu, získáme výraz:

${displaystyle sigma _ {i} cdot v_ {j, k} = left {{egin {array} {lr} v_ {j, k} & iotin {j-1, j, k-1, k}, qv_ {i , k} + (q ^ {2} -q) v_ {i, j} + (1-q) v_ {j, k} & i = j-1 v_ {j + 1, k} & i = jeq k- 1, qv_ {j, i} + (1-q) v_ {j, k} - (q ^ {2} -q) tv_ {i, k} & i = k-1eq j, v_ {j, k +1} & i = k, - tq ^ {2} v_ {j, k} & i = j = k-1.end {pole}} vpravo.}$

Věrnost

Stephen Bigelow a Daan Krammer poskytli nezávislé důkazy, že zastoupení Lawrence – Krammer je věřící.

Geometrie

Reprezentace Lawrence – Krammer zachovává nedegenerovaného sesquilineární forma o kterém je známo, že je poskytován jako Hermitian se zápornou konečností ${displaystyle q, t}$ se specializují na vhodná jednotková komplexní čísla (q blízko 1 a t u i). Skupina opletení je tedy podskupinou jednotná skupina čtvercových matic velikosti ${displaystyle n (n-1) / 2}$. Nedávno se ukázalo, že obraz reprezentace Lawrence – Krammer je a hustá podskupina z jednotná skupina v tomto případě.

Sesquilineární forma má explicitní popis:

${displaystyle langle v_ {i, j}, v_ {k, l} úhel = - (1-t) (1 + qt) (q-1) ^ {2} t ^ {- 2} q ^ {- 3} left {{egin {array} {lr} -q ^ {2} t ^ {2} (q-1) & i = k$

Reference

Další čtení

• Bigelow, Stephene (2001), „Braid groups are linear“, Journal of the American Mathematical Society, 14 (2): 471–486, doi:10.1090 / S0894-0347-00-00361-1, PAN  1815219
• Bigelow, Stephene (2003), „Zastoupení Lawrence – Krammer“, Topologie a geometrie potrubíSborník sympozií z čisté matematiky, 71„Providence, RI: American Mathematical Society, s. 51–68, doi:10.1090 / pspum / 071, PAN  2024629
• Budney, Ryan (2005), „K obrazu reprezentace Lawrence – Krammer“, Žurnál teorie uzlů a jeho důsledky, 14 (6): 773–789, arXiv:matematika / 0202246, doi:10.1142 / S0218216505004044, PAN  2172897
• Krammer, Daan (2002), „Braidovy skupiny jsou lineární“, Annals of Mathematics, 155 (1): 131–156, arXiv:matematika / 0405198, doi:10.2307/3062152, PAN  1888796
• Lawrence, Ruth (1990), „Homologická znázornění Hecke algebry“, Komunikace v matematické fyzice, 135 (1): 141–191, Bibcode:1990CMaPh.135..141L, doi:10.1007 / bf02097660, PAN  1086755
• Paoluzzi, Luisa; Paris, Luis (2002). „Poznámka k reprezentaci Lawrence – Krammer – Bigelow“. Algebraická a geometrická topologie. 2: 499–518. arXiv:matematika / 0111186. doi:10.2140 / agt.2002.2.499. PAN  1917064.