Zastoupení Burau - Burau representation
v matematika the Zastoupení Burau je zastoupení z opletení skupiny, pojmenoval podle a původně studoval německý matematik Werner Burau[1] během třicátých let. The Zastoupení Burau má dvě běžné a téměř ekvivalentní formulace, snížena a neredukovaný Reprezentace Burau.
Definice
Zvažte skupina copu Bn být skupina tříd mapování disku s n označené body Dn. The homologická skupina H1(Dn) je zdarma abelian hodnosti n. Navíc invariantní podprostor H1(Dn) (v rámci akce Bn) je primitivní a nekonečný cyklický. Nechat π : H1(Dn) → Z být projekcí do tohoto neměnného podprostoru. Pak je tu pokrývající prostor Cn odpovídající této projekční mapě. Stejně jako při stavbě Alexanderův polynom, zvážit H1(Cn) jako modul přes skupinový kruh krycích transformací Z[Z], který je izomorfní vůči kruhu Laurentovy polynomy Z[t, t−1]. Jako Z[t, t−1]-modul, H1(Cn) je bez hodnosti n − 1. Základní teorií pokrývající prostory, Bn jedná H1(Cn)a toto zobrazení se nazývá snížené zastoupení Burau.
The neredukované zastoupení Burau má podobnou definici, konkrétně jednu nahrazuje Dn s jeho (skutečný, orientovaný) výbuch na vyznačených místech. Pak místo uvažování H1(Cn) jeden zvažuje relativní homologii H1(Cn, Γ) kde y ⊂ Dn je součástí hranice Dn odpovídá operaci vyfukování společně s jedním bodem na hranici disku. Γ označuje výtah y na Cn. Jako Z[t, t−1]-module toto je bez hodnosti n.
Podle homologie dlouhá přesná sekvence páru, reprezentace Burau zapadají do krátké přesné sekvence
- 0 → PROTIr → PROTIu → D ⊕ Z[t, t−1] → 0,
kde PROTIr (resp. PROTIu) je redukovaný (resp. neredukovaný) Burau Bn-modul a D ⊂ Zn je doplňkem diagonálního podprostoru, jinými slovy:
a Bn jedná Zn permutační reprezentací.
Explicitní matice
Nechat σi označují standardní generátory skupiny opletení Bn. Pak může být neredukovaná Burauova reprezentace dána explicitně mapováním
pro 1 ≤ i ≤ n − 1, kde Ják označuje k × k matice identity. Stejně tak pro n ≥ 3 redukované zastoupení Burau je dáno vztahem
zatímco pro n = 2, mapuje
Interpretace bowlingu
Vaughan Jones[2] podal následující výklad neredukované Burauovy reprezentace pozitivních copánků pro t v [0,1] - tj. Pro copánky, které jsou slovy ve standardních generátorech skupiny copánků, které neobsahují žádné inverze - což vyplývá okamžitě z výše uvedeného explicitního popisu:
Dostal pozitivní cop σ na n vlákna, interpretujte to jako bowlingovou dráhu s n protínající se pruhy. Nyní vhoďte bowlingovou kouli dolů do jedné z jízdních pruhů a předpokládejte, že na každém křížení, kde její dráha protíná jinou jízdní dráhu, s pravděpodobností spadne t a pokračuje dolním pruhem. Pak (i,j)"vstup neredukovaného zastoupení Burau z σ je pravděpodobnost, že míč hodil do i'. pruh končí v jta cesta.
Vztah k Alexandrovu polynomu
Pokud uzel K. je uzavření copu F v Bn, pak až do násobení jednotkou v Z[t, t−1], Alexanderův polynom ΔK.(t) z K. je dána
kde F∗ je zmenšené Burauovo zastoupení copu F.
Například pokud F = σ1σ2 v B3, jeden najde pomocí explicitních matic nad tím
a uzavření F* je unknot, jehož Alexanderův polynom je 1.
Věrnost
První nevěrná reprezentace Burau našel John A. Moody bez použití počítače pomocí pojmu číslo vinutí nebo integrace kontury.[3] Koncepčnější porozumění díky Darrenovi D. Longovi a Markovi Patonovi[4] interpretuje propojení nebo vinutí jako pocházející z Poincaré dualita v první homologii vzhledem k základnímu bodu krycího prostoru a používá křižovatka (tradičně se nazývá Squierova forma jako Craig Squier jako první prozkoumal její vlastnosti).[5] Stephen Bigelow kombinované počítačové techniky a Long-Patonova věta ukazují, že reprezentace Burau není věrná n ≥ 5.[6][7][8] Bigelow navíc poskytuje explicitní netriviální prvek v jádře jako slovo ve standardních generátorech skupiny copů: let
Potom je prvek jádra dán komutátorem
Zastoupení Burau pro n = 2, 3 je známo, že je věrný už nějakou dobu. Věrnost zastoupení Burau, když n = 4 je otevřený problém. Reprezentace Burau se jeví jako součet Jonesova reprezentace, a pro n = 4, věrnost zastoupení Burau je ekvivalentní věrnosti zastoupení Jones, což na druhé straně souvisí s otázkou, zda Jonesův polynom je detektor uzlů.[9]
Geometrie
Craig Squier ukázal, že reprezentace Burau zachovává a sesquilineární forma.[5] Navíc, když proměnná t je vybrán jako transcendentální jednotka komplexní číslo u 1, je kladně definitivní Hermitian párování. Tedy Burauovo zastoupení skupiny copu Bn lze považovat za mapu do jednotná skupina U (n).
Reference
- ^ Burau, Werner (1936). „Über Zopfgruppen und gleichsinnig verdrillte Verkettungen“. Abh. Matematika. Sem. Univ. Hamburg. 11: 179–186. doi:10.1007 / bf02940722.
- ^ Jones, Vaughan (1987). "Reprezentace Hecke algebry skupin opletení a spojovacích polynomů". Annals of Mathematics. Druhá série. 126 (2): 335–388. doi:10.2307/1971403. JSTOR 1971403.
- ^ Moody, John Atwell (1993), „Otázka věrnosti zastoupení Burau“, Proceedings of the American Mathematical Society, 119 (2): 671–679, doi:10.1090 / s0002-9939-1993-1158006-x, JSTOR 2159956, PAN 1158006
- ^ Long, Darren D .; Paton, Mark (1993), „Zastoupení Burau není věrné ", Topologie, 32 (2): 439–447, doi:10.1016 / 0040-9383 (93) 90030-Y, PAN 1217079
- ^ A b Squier, Craig C (1984). „Zastoupení Burau je jednotné“. Proceedings of the American Mathematical Society. 90 (2): 199–202. doi:10.2307/2045338. JSTOR 2045338.
- ^ Bigelow, Stephene (1999). „Reprezentace Burau není věrná n = 5". Geometrie a topologie. 3: 397–404. arXiv:matematika / 9904100. doi:10.2140 / gt.1999.3.397.
- ^ S. Bigelow,Mezinárodní kongres matematiků, Peking, 2002
- ^ Vladimir Turajev, Věrná reprezentace skupin copánků, Bourbaki 1999-2000
- ^ Bigelow, Stephene (2002). "Detekuje Jonesův polynom uzel?". Žurnál teorie uzlů a jeho důsledky. 11 (4): 493–505. arXiv:matematika / 0012086. doi:10,1142 / s0218216502001779.
externí odkazy
- "Burauova věta ", Atlas uzlů.