Laverový stůl - Laver table

v matematika, Laverové stoly (pojmenoval podle Richard Laver, který je objevil na konci 80. let v souvislosti se svými pracemi na teorie množin ) jsou tabulky čísel, které mají určité vlastnosti. Vyskytují se při studiu regály a quandles.

Definice

Za dané přirozené číslo n, lze definovat n-th Laver stůl (s 2ⁿ řádky a sloupce) nastavením

{ displaystyle L_ {n} (p, q): = p hvězda q}

,

kde str označuje řádek a q označuje sloupec záznamu. Operace ${ displaystyle star}$ je jedinečná operace, která splňuje rovnice

{ displaystyle p star 1: = p + 1 mod 2 ^ {n}}

a

{ Displaystyle p hvězda (q hvězda r): = (p hvězda q) hvězda (p hvězda r)}

.

Ten je někdy označován jako samodistribuční právoa jsou volány sady splňující pouze tuto vlastnost police.

Výsledná tabulka se pak nazývá n-th Laver stůl; například pro n = 2, máme:

	1	2	3	4
1	2	4	2	4
2	3	4	3	4
3	4	4	4	4
4	1	2	3	4

Není známo uzavřený výraz k přímému výpočtu položek tabulky Laver.^[1]

Periodicita

Při pohledu na první řádek záznamů v tabulce Laver je vidět, že se záznamy opakují s určitou periodicitou m. Tato periodicita je vždy mocninou 2; prvních několik periodicit je 1, 1, 2, 4, 4, 8, 8, 8, 8, 16, 16, ... (sekvence A098820 v OEIS ). Sekvence se zvyšuje a v roce 1995 Richard Laver dokázal, že za předpokladu, že existuje a hodnost do hodnosti (A velký kardinál ), ve skutečnosti se zvyšuje bez vazby.^[2] Přesto roste extrémně pomalu; Randall Dougherty ukázal, že první n pro které může být období položek tabulky 32, je A (9, A (8, A (8,255))), kde A označuje Ackermannova funkce.^[3]

Reference

^ Lebed, Victoria (2014), „Laver Tables: from The Set Theory to Braid Theory“, Roční topologické sympozium, Tohoku University, Japonsko (PDF). Viz snímek 8/33.
^ Laver, Richard (1995), „O algebře elementárních vložení hodnosti do sebe“, Pokroky v matematice, 110 (2): 334–346, doi:10.1006 / aima.1995.1014, hdl:10338.dmlcz / 127328, PAN 1317621.
^ Dougherty, Randall (1993), "Kritické body v algebře elementárních vložení", Annals of Pure and Applied Logic, 65 (3): 211–241, arXiv:math.LO / 9205202, doi:10.1016/0168-0072(93)90012-3, PAN 1263319.

Další čtení

Dehornoy, Patricku (2001), „Das Unendliche als Quelle der Erkenntnis“, Spektrum der Wissenschaft Spezial (1): 86–90.
Dehornoy, Patrick (2004), "Barvy diagramů a aplikace" (PDF), Sborník východoasijské školy uzlů, odkazy a související témata, str. 37–64.
Police a nekonečno: https://johncarlosbaez.wordpress.com/2016/05/06/shelves-and-the-infinite/

[1] Lebed, Victoria (2014), „Laver Tables: from The Set Theory to Braid Theory“, Roční topologické sympozium, Tohoku University, Japonsko (PDF). Viz snímek 8/33.

[2] Laver, Richard (1995), „O algebře elementárních vložení hodnosti do sebe“, Pokroky v matematice, 110 (2): 334–346, doi:10.1006 / aima.1995.1014, hdl:10338.dmlcz / 127328, PAN 1317621.

[3] Dougherty, Randall (1993), "Kritické body v algebře elementárních vložení", Annals of Pure and Applied Logic, 65 (3): 211–241, arXiv:math.LO / 9205202, doi:10.1016/0168-0072(93)90012-3, PAN 1263319.

[1]

[2]

[3]