Lagrangeovo číslo - Lagrange number

v matematika, Lagrangeova čísla jsou posloupností čísel, která se objevují v mezích vztahujících se k aproximaci iracionální čísla podle racionální čísla. Jsou spojeni s Hurwitzova věta.

Definice

Hurwitz se zlepšil Peter Gustav Lejeune Dirichlet Kritérium iracionality k tvrzení, že reálné číslo α je iracionální právě tehdy, pokud existuje nekonečně mnoho racionálních čísel p/q, napsané v nejnižších termínech, takové

${displaystyle left | alpha - {frac {p} {q}} ight | <{frac {1} {{sqrt {5}} q ^ {2}}}.}$

Šlo o vylepšení Dirichletova výsledku, který měl 1 /q² na pravé straně. Výše uvedený výsledek je nejlepší možný, protože Zlatý řez φ je iracionální, ale pokud nahradíme √5 jakýmkoli větším číslem ve výše uvedeném výrazu pak budeme moci najít pouze konečně mnoho racionálních čísel, která uspokojí nerovnost pro α = φ.

Hurwitz však také ukázal, že pokud vynecháme číslo φ a čísla z něj odvozená, pak my umět zvýšit počet √5. Ve skutečnosti ukázal, že jej můžeme nahradit 2√2. Opět je tato nová hranice nejlepší v novém nastavení, ale tentokrát číslo √2 je problém. Pokud to nedovolíme √2 pak můžeme zvýšit počet na pravé straně nerovnosti z 2√2 na √221/ 5. Opakováním tohoto procesu získáme nekonečnou posloupnost čísel √5, 2√2, √221/ 5, ... které konvergují k 3.^[1] Tato čísla se nazývají Lagrangeova čísla,^[2] a jsou pojmenovány po Joseph Louis Lagrange.

Vztah k Markovovým číslům

The nLagrangeovo číslo L_n je dána

${displaystyle L_ {n} = {sqrt {9- {frac {4} {{m_ {n}} ^ {2}}}}}}$

kde m_n je nth Markovovo číslo,^[3] toto je nth nejmenší celé číslo m taková, že rovnice

${displaystyle m ^ {2} + x ^ {2} + y ^ {2} = 3mxy,}$

má řešení v kladných celých číslech X a y.

Reference

• Cassels, J.W.S. (1957). Úvod do diofantické aproximace. Cambridge Tracts v matematice a matematické fyzice. 45. Cambridge University Press. Zbl  0077.04801.
• Conway, J.H.; Guy, R.K. (1996). Kniha čísel. New York: Springer-Verlag. ISBN  0-387-97993-X.

externí odkazy

• Lagrangeovo číslo. Z MathWorld v Wolfram Research.
• Úvod do diofantických metod, iracionality a transcendence - online přednášky od Michel Waldschmidt, Lagrangeova čísla na str. 24–26.