Lagrangeovy multiplikátory na Banachových prostorech - Lagrange multipliers on Banach spaces
V oblasti variační počet v matematika, metoda Lagrangeovy multiplikátory na Banachových prostorech lze použít k řešení určitých nekonečně-dimenzionálních omezený optimalizační problémy. Metoda je zobecněním klasické metody Lagrangeovy multiplikátory jak se používá k nalezení extrémy a funkce konečně mnoha proměnných.
Lagrangeova věta o multiplikátoru pro Banachovy prostory
Nechat X a Y být nemovitý Banachovy prostory. Nechat U být otevřená podmnožina z X a nechte F : U → R být nepřetržitě diferencovatelná funkce. Nechat G : U → Y být další nepřetržitě diferencovatelnou funkcí, omezení: cílem je najít extrémní body (maxima nebo minima) z F s výhradou tohoto omezení G je nula.
Předpokládejme to u0 je omezené extremum z F, tj. extrém F na
Předpokládejme také, že Fréchetův derivát DG(u0) : X → Y z G na u0 je surjektivní lineární mapa. Pak existuje a Lagrangeův multiplikátor λ : Y → R v Y∗, dvojí prostor na Y, takový, že
Od DF(u0) je prvek dvojího prostoru X∗, rovnici (L) lze také napsat jako
kde (DG(u0))∗(λ) je zarazit z λ autor: D.G(u0), tj. akce adjoint mapa (DG(u0))∗ na λ, jak je definováno
Spojení s konečně-dimenzionálním případem
V případě, že X a Y jsou konečně-dimenzionální (tj. lineárně izomorfní na Rm a Rn pro některé přirozená čísla m a n) a poté zapsat rovnici (L) matice to ukazuje forma λ je obvyklý Lagrangeův multiplikační vektor; v případě n = 1, λ je obvyklý Lagrangeův multiplikátor, skutečné číslo.
aplikace
V mnoha optimalizačních problémech se člověk snaží minimalizovat funkcionalitu definovanou v nekonečně dimenzionálním prostoru, jako je Banachův prostor.
Zvažte například Sobolevův prostor a funkční dána
Bez omezení minimální hodnota F by bylo 0, dosaženo u0(X) = 0 pro všechny X mezi -1 a +1. Dalo by se také zvážit omezený optimalizační problém, aby se minimalizoval F mezi všemi těmi u ∈ X tak, že střední hodnota u je +1. Z hlediska výše uvedené věty, omezení G by dal
Tento problém však lze vyřešit jako v případě konečných rozměrů od Lagrangeova multiplikátoru je pouze skalární.
Viz také
- Pontryaginův minimální princip, Hamiltonova metoda v variačním počtu
Reference
- Luenberger, David G. (1969). "Místní teorie omezené optimalizace". Optimalizace metodami vektorového prostoru. New York: John Wiley & Sons. 239–270. ISBN 0-471-55359-X.
- Zeidler, Eberhard (1995). Aplikovaná funkční analýza: Variační metody a optimalizace. Aplikované matematické vědy 109. New York, NY: Springer-Verlag. ISBN 978-1-4612-9529-7. (Viz část 4.14, s. 270–271.)
Tento článek včlení materiál od Lagrangeovy multiplikátory na Banachových prostorech na PlanetMath, který je licencován pod Creative Commons Attribution / Share-Alike License.