Kuratowskis problém uzavření-doplněk - Kuratowskis closure-complement problem - Wikipedia

v bodová topologie, Kuratowského problém uzavření-doplnění požaduje největší počet odlišných množin, které lze získat opakovaným použitím operací množiny z uzavření a doplněk k dané počáteční podmnožině a topologický prostor. Odpověď je 14. Tento výsledek poprvé publikoval Kazimierz Kuratowski v roce 1922.^[1] O tři desetiletí později se problém objevil jako cvičení v John L. Kelley klasická učebnice Obecná topologie.^[2]

Důkaz

Pronájem S označte libovolnou podmnožinu topologického prostoru, napište kS pro uzavření S, a cS pro doplněk S. Následující tři identity naznačují, že nelze získat více než 14 odlišných sad:

(1) kkS = kS. (Uzavírací operace je idempotentní.)

(2) ccS = S. (Operace komplementu je involuce.)

(3) kckckckcS = kckcS. (Nebo rovnocenně kckckckS = kckckckccS = kckS. Použití identity (2).)

První dva jsou triviální. Třetí vyplývá z identity kikiS = kiS kde je je interiér z S což se rovná doplňku uzavření doplňku S, je = ckcS. (Operace ki = kckc je idempotentní.)

Podmnožina realizující maximálně 14 se nazývá a 14-sada. Prostor reálná čísla pod obvyklou topologií obsahuje 14 sad. Zde je jeden příklad:

{ displaystyle (0,1) cup (1,2) cup {3 } cup { bigl (} [4,5] cap mathbb {Q} { bigr)},}

kde ${ displaystyle (1,2)}$ označuje otevřený interval a ${ displaystyle [4,5]}$ označuje uzavřený interval.

Další výsledky

Navzdory svému původu v kontextu topologického prostoru je Kuratowského problém uzavírání a doplňování ve skutečnosti více algebraický než topologické. Od roku 1960 se objevilo překvapivé množství úzce souvisejících problémů a výsledků, z nichž mnohé mají jen málo nebo nic společného s topologií bodových množin.^[3]

Operace uzavření-doplněk přinesou a monoidní které lze použít ke klasifikaci topologických prostorů.^[4]

Reference

^ Kuratowski, Kazimierz (1922). „Sur l'operation A de l'Analysis Situs“ (PDF). Fundamenta Mathematicae. Varšava: Polská akademie věd. 3: 182–199. ISSN 0016-2736.
^ Kelley, Johne (1955). Obecná topologie. Van Nostrand. str. 57. ISBN 0-387-90125-6.
^ Hammer, P. C. (1960). „Kuratowského závěrečná věta“. Nieuw Archief voor Wiskunde. Nizozemská královská matematická společnost. 8: 74–80. ISSN 0028-9825.
^ Schwiebert, Ryan. "Radikál-zničující monoid prstenu". arXiv:1803.00516. doi:10.1080/00927872.2016.1222401. Citovat deník vyžaduje | deník = (Pomoc)

externí odkazy

Kuratowského věta o komplementu B. J. Gardner a Marcel Jackson
Problém uzavření-doplnění Kuratowski Mark Bowron

Tento související s topologií článek je a pahýl. Wikipedii můžete pomoci pomocí rozšiřovat to.

[1] Kuratowski, Kazimierz (1922). „Sur l'operation A de l'Analysis Situs“ (PDF). Fundamenta Mathematicae. Varšava: Polská akademie věd. 3: 182–199. ISSN 0016-2736.

[2] Kelley, Johne (1955). Obecná topologie. Van Nostrand. str. 57. ISBN 0-387-90125-6.

[3] Hammer, P. C. (1960). „Kuratowského závěrečná věta“. Nieuw Archief voor Wiskunde. Nizozemská královská matematická společnost. 8: 74–80. ISSN 0028-9825.

[4] Schwiebert, Ryan. "Radikál-zničující monoid prstenu". arXiv:1803.00516. doi:10.1080/00927872.2016.1222401. Citovat deník vyžaduje | deník = (Pomoc)

[1]

[2]

[3]

[4]