Krasnersovo lemma - Krasners lemma - Wikipedia

v teorie čísel, konkrétněji v p-adická analýza, Krasnerovo lemma je základní výsledek týkající se topologie a kompletní non-archimedean pole k jeho algebraické rozšíření.

Prohlášení

Nechat K. být úplným nearchimédským polem a nechat K. být oddělitelný uzávěr z K.. Vzhledem k prvku α v K., označte jeho Galoisovy konjugáty podle α₂, ..., α_n. Krasnerovo lemma uvádí:^[1][2]

pokud prvek β z K. je takový

${ displaystyle left | alpha - beta right | < left | alpha - alpha _ {i} right | { text {for}} i = 2, dots, n}$

pak K.(α) ⊆ K.(β).

Aplikace

• K tomu lze ukázat Krasnerovo lemma ${ displaystyle { mathfrak {p}}}$-adické dokončení a oddělitelné uzavření globální pole dojíždět.^[3] Jinými slovy řečeno ${ displaystyle { mathfrak {p}}}$ A primární globálního pole L, oddělitelný uzávěr ${ displaystyle { mathfrak {p}}}$-adické dokončení L rovná se ${ displaystyle { overline { mathfrak {p}}}}$-adické dokončení oddělitelného uzávěru L (kde ${ displaystyle { overline { mathfrak {p}}}}$ je vrcholem L výše ${ displaystyle { mathfrak {p}}}$).
• Další aplikací je prokázat to C_p - dokončení algebraického uzavření Q_p - je algebraicky uzavřeno.^[4][5]

Zobecnění

Krasnerovo lemma má následující zevšeobecnění.^[6]Zvažte monický polynom

${ displaystyle f ^ {*} = prod _ {k = 1} ^ {n} (X- alpha _ {k} ^ {*})}$

stupně n > 1s koeficienty v a Henselianovo pole (K., proti) a kořeny v algebraickém uzávěru K.. Nechat Já a J být dvě disjunktní, neprázdné množiny se sjednocením {1, ...,n}. Zvažte navíc apolynom

${ displaystyle g = prod _ {i in I} (X- alpha _ {i})}$

s koeficienty a kořeny v K.. Převzít

${ displaystyle forall i in I forall j in J: v ( alpha _ {i} - alpha _ {i} ^ {*})> v ( alpha _ {i} ^ {*} - alpha _ {j} ^ {*}).}$

Pak koeficienty polynomů

${ displaystyle g ^ {*}: = prod _ {i in I} (X- alpha _ {i} ^ {*}), h ^ {*}: = prod _ {j v J } (X- alpha _ {j} ^ {*})}$

jsou obsaženy v rozšíření pole K. generované koeficienty G. (Původní Krasnerovo lemma odpovídá situaci, kdy G má titul 1.)

Poznámky

Reference

• Brink, David (2006). „Nové světlo na Henselově lemmě“. Expositiones Mathematicae. 24 (4): 291–306. doi:10.1016 / j.exmath.2006.01.002. ISSN  0723-0869. Zbl  1142.12304.
• Lorenz, Falko (2008). Algebra. Volume II: Fields with Structure, Algebras and Advanced Topics. Springer-Verlag. ISBN  978-0-387-72487-4. Zbl  1130.12001.
• Narkiewicz, Władysław (2004). Základní a analytická teorie algebraických čísel. Springer Monografie z matematiky (3. vyd.). Berlín: Springer-Verlag. str. 206. ISBN  3-540-21902-1. Zbl  1159.11039.
• Neukirch, Jürgen; Schmidt, Alexander; Wingberg, Kay (2008), Kohomologie číselných polí, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 323 (Second ed.), Berlin: Springer-Verlag, ISBN  978-3-540-37888-4, PAN  2392026, Zbl  1136.11001