Číslo Kostka - Kostka number

Tři polostandardní Youngovy obrazy tvaru λ = (3, 2) a hmotnosti μ = (1, 1, 2, 1). Počítají se podle čísla Kostky K.λμ = 3.

v matematika, Číslo Kostka K.λμ (v závislosti na dvou celočíselné oddíly λ a μ) je a nezáporné celé číslo to se rovná počtu polostandardní Young tableaux tvaru λ a hmotnosti μ. Byly představeny matematikem Carl Kostka ve své studii symetrických funkcí (Kostka (1882) ).[1]

Například pokud λ = (3, 2) a μ = (1, 1, 2, 1), číslo Kostka K.λμ spočítá počet způsobů, jak vyplnit levou kolekci krabic s 3 v prvním řádku a 2 v druhém řádku s 1 kopií čísla 1, 1 kopií čísla 2, 2 kopiemi čísla 3 a 1 kopií čísla 4 tak, aby se položky zvyšovaly podél sloupců a neklesaly podél řádků. Tyto tři obrazy jsou zobrazeny vpravo a K.(3, 2) (1, 1, 2, 1) = 3.

Příklady a zvláštní případy

U libovolného oddílu λ číslo Kostka K.λλ se rovná 1: jedinečný způsob vyplnění Mladý diagram tvaru λ = (λ1, λ2, ..., λm) s λ1 kopie 1, λ2 kopie 2 atd., takže výsledné tablo se slabě zvětšuje podél řádků a striktně se zvětšuje podél sloupců, pokud jsou všechny 1s umístěny v první řadě, všechny 2s jsou umístěny ve druhé řadě atd. (Toto tablo se někdy nazývá Yamanouchi tablo tvaru λ.)

Číslo Kostka K.λμ je kladné (tj. existují polostandardní Youngovy obrazce tvaru λ a hmotnosti μ) právě tehdy, když λ a μ jsou oba oddíly stejného celého čísla n a λ je větší než μ in pořadí dominance.[2]

Obecně neexistují žádné pěkné vzorce známé pro čísla Kostka. Jsou však známy některé speciální případy. Například pokud μ = (1, 1, 1, ..., 1) je oddíl, jehož části jsou všechny 1, pak polostandardní Young tablo váhy μ je standardní Young tablo; počet standardních mladých obrazců daného tvaru λ je dán vztahem vzorec délky háku.

Vlastnosti

Důležitou jednoduchou vlastností čísel Kostky je to K.λμ nezávisí na pořadí záznamů μ. Například, K.(3, 2) (1, 1, 2, 1) = K.(3, 2) (1, 1, 1, 2). To není z definice bezprostředně zřejmé, ale lze to ukázat stanovením bijekce mezi množinami polostandardních Youngových obrazců tvaru λ a hmotností μ a μ ', kde μ a μ' se liší pouze záměnou dvou položek.[3]

Kostkova čísla, symetrické funkce a teorie reprezentace

Kromě čistě kombinační definice výše, mohou být také definovány jako koeficienty, které vznikají, když člověk vyjádří Schurův polynom sλ jako lineární kombinace z monomiální symetrické funkce mμ:

kde λ a μ jsou oba oddíly n. Alternativně lze také vyjádřit Schurovy polynomy[4] tak jako

kde je součet nade vše slabé složení α z n a Xα označuje monomiál X1α1⋯Xnαn.

Kvůli souvislostem mezi teorií symetrické funkce a teorie reprezentace, Čísla Kostka také vyjadřují rozklad permutační modul Mμ pokud jde o reprezentace PROTIλ odpovídající znaku sλ, tj.,

Na úrovni reprezentací obecná lineární skupina , číslo Kostka K.λμ počítá rozměr váhový prostor odpovídá μ v neredukovatelné zastoupení PROTIλ (kde požadujeme, abychom měli maximálně μ a λ n části).

Příklady

Čísla Kostka pro oddíly o velikosti maximálně 3 jsou následující:

K.(0) (0) = 1 (zde (0) představuje prázdný oddíl)
K.(1) (1) = 1
K.(2) (2) = K.(2) (1,1) = K.(1,1) (1,1) = 1, K.(1,1) (2) = 0.
K.(3) (3) = K.(3) (2,1) = K.(3) (1,1,1) = 1
K.(2,1) (3) = 0, K.(2,1) (2,1) = 1, K.(2,1) (1,1,1) = 2
K.(1,1,1) (3) = K.(1,1,1) (2,1) = 0, K.(1,1,1) (1,1,1) = 1

Tyto hodnoty jsou přesně koeficienty v expanzích Schurových funkcí, pokud jde o monomiální symetrické funkce:

s = m = 1 (indexováno prázdným oddílem)
s1 = m1
s2 = m2 + m11
s11 = m11
s3 = m3 + m21 + m111
s21 = m21 + 2m111
s111 = m111.

Kostka (1882, strany 118-120) uvádí tabulky těchto čísel pro oddíly čísel až 8.

Zobecnění

Čísla Kostka jsou speciální hodnoty proměnné 1 nebo 2 Kostkovy polynomy:

Poznámky

  1. ^ Stanley, Enumerativní kombinatorika, svazek 2, str. 398.
  2. ^ Stanley, Enumerativní kombinatorika, svazek 2, str. 315.
  3. ^ Stanley, Enumerativní kombinatorika, svazek 2, str. 311.
  4. ^ Stanley, Enumerativní kombinatorika, svazek 2, str. 311.

Reference

  • Stanley, Richard (1999), Enumerativní kombinatorika, svazek 2, Cambridge University Press
  • Kostka, C. (1882), „Über den Zusammenhang zwischen einigen Formen von symmetrischen Funktionen“, Crelle's Journal, 93: 89–123[trvalý mrtvý odkaz ]
  • Macdonald, I. G. (1995), Symetrické funkce a Hallovy polynomy Oxfordské matematické monografie (2. vyd.), The Clarendon Press Oxford University Press, ISBN  978-0-19-853489-1, PAN  1354144, archivovány z originál dne 2012-12-11
  • Sagan, Bruce E. (2001) [1994], "Schurovy funkce v algebraické kombinatorice", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS