Kostkův polynom - Kostka polynomial

v matematika, Kostkovy polynomy, pojmenovaný po matematikovi Carl Kostka, jsou rodiny polynomy které zobecňují Čísla Kostka. Jsou studovány především v algebraická kombinatorika a teorie reprezentace.

Dva proměnné Kostkovy polynomy K._λμ(q, t) jsou známy pod několika jmény včetně Kostka – Foulkesovy polynomy, Macdonald – Kostkovy polynomy nebo q,t-Kostka polynomy. Zde jsou indexy λ a μ celočíselné oddíly a K._λμ(q, t) je v proměnných polynomiální q a t. Někdy se uvažuje o variantách těchto polynomů s jednou proměnnou, které vzniknou nastavením q = 0, tj. Uvažováním polynomu K._λμ(t) = K._λμ(0, t).

Existují dvě mírně odlišné verze, jedna s názvem transformované Kostkovy polynomy.^{[Citace je zapotřebí ]}

Lze použít jednu variabilní specializaci Kostkových polynomů Hall-Littlewoodovy polynomy P_μ na Schurovy polynomy s_λ:

${ displaystyle s _ { lambda} (x_ {1}, ldots, x_ {n}) = sum _ { mu} K _ { lambda mu} (t) P _ { mu} (x_ {1} , ldots, x_ {n}; t). }$

Tyto polynomy se domnívaly, že mají nezáporné celočíselné koeficienty Foulkes, a to bylo později prokázáno v roce 1978 Alain Lascoux a Marcel-Paul Schützenberger.^[1]Ve skutečnosti to ukazují

${ displaystyle K _ { lambda mu} (t) = součet _ {T v SSYT ( lambda, mu)} t ^ {poplatek (T)}}$

kde je součet převzat celý polostandard Mladé obrazy s tvarem λ a hmotností μ. Zde nabít je určitá kombinatorická statistika na polostandardních Youngových obrázcích.

Polynomy Macdonald – Kostka lze použít k relaci Macdonaldovy polynomy (také označeno P_μ) až Schurovy polynomy s_λ:

${ displaystyle s _ { lambda} (x_ {1}, ldots, x_ {n}) = sum _ { mu} K _ { lambda mu} (q, t) J _ { mu} (x_ { 1}, ldots, x_ {n}; q, t) }$

kde

${ displaystyle J _ { mu} (x_ {1}, ldots, x_ {n}; q, t) = P _ { mu} (x_ {1}, ldots, x_ {n}; q, t) prod _ {s in mu} (1-q ^ {rameno (ruce)} t ^ {nohy (nohy) +1}). }$

Čísla Kostka jsou speciální hodnoty 1 nebo 2 proměnných Kostkových polynomů:

${ displaystyle K _ { lambda mu} = K _ { lambda mu} (1) = K _ { lambda mu} (0,1). }$

Příklady

Tato část je prázdná. Můžete pomoci přidávat k tomu. (Červenec 2010)

Reference

• Macdonald, I. G. (1995), Symetrické funkce a Hallovy polynomy Oxfordské matematické monografie (2. vyd.), The Clarendon Press Oxford University Press, ISBN  978-0-19-853489-1, PAN  1354144^{[trvalý mrtvý odkaz ]}
• Nelsen, Kendra; Ram, Arun (2003), „Kostka-Foulkesovy polynomy a Macdonaldovy sférické funkce“, Průzkumy v kombinatorice, 2003 (Bangor), London Math. Soc. Přednáška Ser., 307, Cambridge: Cambridge Univ. Press, str. 325–370, arXiv:matematika / 0401298, Bibcode:2004math ...... 1298N, PAN  2011741
• Stembridge, J. R. (2005), Kostka-Foulkesovy polynomy obecného typu, skripta z workshopu AIM o zobecněných Kostkových polynomech

externí odkazy

• Krátké tabulky Kostkových polynomů
• Dlouhé tabulky Kostkových polynomů