Síť Klumpenhouwer - Klumpenhouwer network

7-poznámkový segment intervalový cyklus C7

A Klumpenhouwer Network, pojmenovaný podle svého vynálezce, kanadský hudební teoretik a bývalý doktorand z David Lewin je v Harvard, Henry Klumpenhouwer „je„ jakýkoli síť který používá operace T a / nebo I (transpozice nebo inverze ) interpretovat vzájemné vztahy mezi ks "(třída hřiště sady ).[1] Podle George Perle „síť Klumpenhouwer je akord analyzovány pokud jde o jeho dyadický částky a rozdíly „a“ tento druh analýzy triadických kombinací byl implicitně obsažen v „jeho“ konceptu cyklická sada od začátku",[2] cyklické množiny jsou ty “sady jehož alternativní prvky se rozvíjejí komplementární cykly jediného interval."[3]

Cyklická sada (součet 9) z Berg Lyric Suite

„Myšlenkou Klumpenhouwera, jak jednoduchou, tak hlubokou ve svých důsledcích, je umožnit inverzní i transpoziční vztahy do sítí, jako jsou ty na obrázku 1,“[1] ukazující šipku dolů z B do F♯ označené T7, dolů z F♯ na A označený T3, a zpět z A do B, označené T10 což umožňuje, aby byl reprezentován obrázkem 2a, například označeným I5, Já3a T2.[1] Na obrázku 4 je to (b) I7, Já5, T2 a (c) já5, Já3, T2.

Akord 1. Vztahy K-sítě, inverzní a transpoziční, reprezentované šipkami, písmeny a čísly.
Akord 2. Inverzní a transpoziční vztahy K-net reprezentované šipkami, písmeny a čísly.
Akord 3. Tento akord s akordem 1 poskytuje příklad pravidla # 1 prostřednictvím izomorfismu sítě. [6]

Lewin tvrdí „rekurzivní potenciál analýzy K-sítě "[4]... "'ve velké obecnosti: Když systém moduluje operací A, transformace f ' = A f A -inverzní hraje strukturovanou roli v modulovaném systému, který hrál v původním systému. '“[5]

Vzhledem k jakékoli síti třídy hřiště a vzhledem k jakékoli počítačové operaci A může být z první odvozena druhá síť a tím odvozen vztah izomorfismus sítě "vzniká mezi sítěmi používajícími analogické konfigurace uzly a šipky k interpretaci množin, které mají stejnou třídu množin. "[6] "izomorfismus grafů. Dva grafy jsou izomorfní když sdílejí stejnou strukturu uzlů a šipek a když také operace označující odpovídající šipky odpovídají pod určitým druhem mapování f mezi T / I. “[7]

"Pro generování izomorfních grafů musí být mapování f tím, čemu se říká automorfismus systému T / I. Sítě, které mají izomorfní grafy, se nazývají izografický."[7]

"být izografický, dvě sítě musí mít tyto funkce:

  1. Musí mít stejnou konfiguraci uzlů a šipek.
  2. Nějaké musí být izomorfismus F, který mapuje proměna -systém používaný k označení šipek jedné sítě, do transformačního systému použitého k označení šipek druhé.
  3. Pokud transformace X označí šipku jedné sítě, pak transformace F (X) označí odpovídající šipku druhé. "

„Dvě sítě jsou pozitivně izografické když sdílejí stejnou konfiguraci uzlů a šipek, když jsou T-čísla odpovídajících šipek stejná a když se I-čísla odpovídajících šipek liší o určité pevné číslo j mod 12. "[7] „Sítě, které obsahují identické grafy, nazýváme„ silně izografické ““.[8] "Ať se rodina transpozic a inverzí na hodinách hřiště nazývá" T / I skupina.'"[9]

"Může být libovolná síť retrográdně obrácením všech šipek a odpovídajícím přizpůsobením transformací. “[7]

Klumpenhouwerova [skutečná] domněnka: „uzly (a) a (b), sdílející stejnou konfiguraci šipek, budou vždy izografické, pokud každé T-číslo sítě (b) je stejné jako odpovídající T-číslo sítě (a ), zatímco každé I-číslo sítě (b) je přesně j více než odpovídající I-číslo sítě (a), kde j je nějaké konstantní číslo modulo 12. “[6]

Pět pravidel pro izografii sítí Klumpenhouwer:

  1. Klumpenhouwer Networks (a) a (b), sdílející stejnou konfiguraci uzlů a šipek, budou izografické za okolností, že každé T-číslo sítě (b) je stejné jako odpovídající T-číslo sítě (a), a každé I-číslo sítě (b) je přesně j více než odpovídající I-číslo sítě (a). Příslušný automorfismus skupiny T / I je F (1, j): F (1, j) (Tn) = Tn; F (1, j) (In) = Ján + J.
  2. Klumpenhouwer Networks (a) a (b), budou izografické za okolností, že každé T-číslo sítě (b) je doplňkem odpovídajícího T-čísla v síti (a) a každé I-číslo sítě (b) ) je přesně j více než doplněk odpovídajícího I-čísla v síti (a) ... F (11, j): F (11, j) (Tn) = T- n; F (11, j) (I.n) = Já−n + j."
  3. Klumpenhouwer Networks (a) a (b), bude izografický za okolností každé T-číslo sítě (b) je pětinásobek odpovídajícího T-čísla v síti (a) a každé I-číslo sítě (b) je přesně j více než pětinásobek odpovídajícího čísla I v síti (a) ... F (5, j): F (5, j) (Tn) = T5n; F (5, j) (I.n) = Já5n + j.[7]
  4. Klumpenhouwer Networks (a) a (b), bude izografický za okolností každé T-číslo sítě (b) je 7násobek odpovídajícího T-čísla v síti (a) a každé I-číslo sítě (b) je přesně j více než 7násobek odpovídajícího čísla I v síti (a) ... F (7, j): F (7, j) (Tn) = T7n; F (7, j) (I.n) = Já7n + j.
  5. „Klumpenhouwer Networks (a) a (b), i když sdílejí stejnou konfiguraci uzlů a šipek, nebudou za žádných jiných okolností izografické.“[7]

„Kteroukoli z triadických sítí Klupmenhouwer lze tedy chápat jako segment cyklické množiny a interpretace těchto a„ sítí sítí “... takto efektivně a ekonomicky reprezentovaných.“[2]

Pokud jsou grafy akordů izomorfní prostřednictvím příslušných operací F (u, j), pak mohou být grafovány jako jejich vlastní síť.[10]

Graf grafů ze šesti akordů Schoenberga Pierrot Lunaire, Č. 4, mm. 13-14.[10]

Mezi další pojmy patří Lewinova transformační síť[11] a silně izomorfní.[12]

Viz také

Další čtení

  • v Zobecněné hudební intervaly a transformace (New Haven and London: Yale University Press, 1987), 159-60, David Lewin pojednává o „související síti zahrnující výšky tónu a intervaly tónu, spíše než třídy tónu a interval počítače“.[13]
  • Donald Martino (1961), „The Source Set and Its Agregát Formace, “ Journal of Music Theory 5, č. 2 (podzim): 224-73.
  • Allen Forte, Struktura atonální hudby (New Haven: Yale University Press, 1973).
  • John Rahn, Základní atonální teorie (New York and London: Longman's, 1980).[14]
  • Roeder, John (1989). „Harmonické důsledky Schönbergových pozorování vedení atonálního hlasu,“ Journal of Music Theory 33, č. 1 (jaro): 27-62.[15]
  • Morris, Robert (1987). Složení s Pitch Classes, str. 167. New Haven and London: Yale University Press. ISBN  0-300-03684-1. Diskutuje o automorfismech.[9]

Zdroje

  1. ^ A b C Lewin, David (1990). „Klumpenhouwer Networks a některé izografie, které se jich týkají“, str.84, Hudební teorie spektra, Sv. 12, č. 1 (jaro), str. 83–120.
  2. ^ A b Perle, George (1993). "Dopis od George Perleho", Hudební teorie spektra, Sv. 15, č. 2 (podzim), s. 300-303.
  3. ^ Perle, George (1996). Dvanácti tónová tonalita, str.21. ISBN  0-520-20142-6.
  4. ^ Lewin, David (1994). „Tutorial on Klumpenhouwer Networks, Using the Chorale in Schoenberg's Opus 11, No. 2“, str.90, Journal of Music Theory, Sv. 38, č. 1 (jaro), str. 79-101.
  5. ^ Lewin (1990), s. 86. citovat GMIT, str.149.
  6. ^ A b Lewin (1990), s. 87.
  7. ^ A b C d E F Lewin (1990), s. 88.
  8. ^ Lewin (1990, 84); Klumpenhouwer (1991, 329). citovaný v Klumpenhouwer (1994), str. 222.
  9. ^ A b Lewin (1990, 86).
  10. ^ A b Lewin (1990, 92).
  11. ^ Klumpenhouwer (1991), s. 320. cituje Davida Lewina (1988), Zobecněné hudební intervaly a transformace. (New Haven: Yale University Press), 154-244.
  12. ^ Klupenhouwer (1991), s. 322.
  13. ^ Lewin (1990), s. 83.
  14. ^ Klumpenhouwer, Henry (1991). „Aspects of Row Structure and Harmony in Martino's Impromptu Number 6“, str.318n1, Perspektivy nové hudby, Sv. 29, č. 2 (léto), str. 318-354.
  15. ^ citováno v Klumpenhouwer (1991), str. 354: „Roeder se většinou, ne však výlučně, zajímá obyčejný tón vztahy mezi dvojicemi akordů, jejichž konstitutivní výšky jsou příbuzné způsobem, který formalizuje z poznámek v Schönbergově Harmonielehre."