Kerr – Doldův vír - Kerr–Dold vortex

v dynamika tekutin, Kerr – Doldův vír je přesným řešením Navier-Stokesovy rovnice, což představuje stálé periodické víry umístěné nad tok stagnačních bodů (nebo extenzní tok). Řešení objevili Oliver S. Kerr a John W. Dold v roce 1994.^[1][2] Tato stálá řešení existují jako výsledek rovnováhy mezi protahováním vírů pomocí extenzního toku a viskózním rozptylem, které jsou podobné Burgery vír. Tyto víry byly experimentálně pozorovány ve čtyřválcovém mlýnském zařízení od Lagnado a L. Gary Leal.^[3]

Matematický popis

Tok stagnačního bodu, který je již přesným řešením rovnice Navier-Stokes, je dán vztahem ${ displaystyle mathbf {U} = (0, -Ay, Az)}$, kde ${ displaystyle A}$ je rychlost deformace. K tomuto toku lze přidat další periodické rušení, takže nové pole rychlosti lze zapsat jako

${ displaystyle mathbf {u} = { begin {bmatrix} 0 - Ay Az end {bmatrix}} + { begin {bmatrix} u (x, y) v (x, y) 0 end {bmatrix}}}$

kde rušení ${ displaystyle u (x, y)}$ a ${ displaystyle v (x, y)}$ se předpokládá, že jsou v ${ displaystyle x}$ směr se základním vlnovým číslem ${ displaystyle k}$. Kerr a Dold ukázali, že takové poruchy existují s konečnou amplitudou, což činí řešení přesným k Navier-Stokesovým rovnicím. Představujeme funkci streamu ${ displaystyle psi}$ u složek rychlosti rušení lze prokázat, že rovnice poruch ve formulaci vorticity-stream se redukují na

${ displaystyle { begin {aligned} omega & = - left ({ frac { částečné ^ {2}} { částečné x ^ {2}}} + { frac { částečné ^ {2}} { částečné y ^ {2}}} vpravo) psi [6 bodů] { frac { částečné psi} { částečné y}} { frac { částečné omega} { částečné x}} - { frac { částečné psi} { částečné x}} { frac { částečné omega} { částečné y}} & - Ay { frac { částečné omega} { částečné y}} - A omega = nu left ({ frac { částečné ^ {2}} { částečné x ^ {2}}} + { frac { částečné ^ {2}} { částečné y ^ {2} }} vpravo) omega end {zarovnáno}}}$

kde ${ displaystyle omega}$ je porucha vířivost. Jeden parametr

${ displaystyle lambda = { frac {A} { nu k ^ {2}}}}$

lze získat nedimenzionalizací, která měří sílu konvergujícího toku k viskóznímu rozptylu. Předpokládá se, že toto řešení bude

${ displaystyle psi = suma _ {k = - infty} ^ { infty} [a_ {k} (y) + ib_ {k} (y)] e ^ {- ikx}.}$

Je snadné to ověřit ${ displaystyle a_ {k} = a _ {- k}, , b_ {k} = - b _ {- k}, , a_ {0} = b_ {0} = b_ {1} = 0.}$ Po substituci získáme nekonečnou sekvenci diferenciální rovnice, která je spojena nelineárně. Chcete-li odvodit následující rovnice, Cauchyho produkt pravidlo bude použito. Rovnice jsou^[4][5]

${ displaystyle { begin {aligned} & a_ {k} '' '+ Aya_ {k}' '+ (A-2k ^ {2}) a_ {k}' '- k ^ {2} Aya_ {k } '- k ^ {2} Aa_ {k} + k ^ {4} a_ {k} [6pt] & {} + i left [b_ {k}' '' + Ayb_ {k} '' '+ (A-2k ^ {2}) b_ {k}' '- k ^ {2} Ayb_ {k}' - k ^ {2} Ab_ {k} + k ^ {4} b_ {k} doprava ] [6pt] = {} & i sum _ { ell = - infty} ^ { infty} left { left (a_ {k- ell} '+ ib_ {k- ell}' right) left [ ell a _ { ell} '' - ell ^ {3} a _ { ell} + i ( ell b _ { ell} '' - ell ^ {3} b _ { ell }) right] - (k- ell) left (a_ {k- ell} + ib_ {k- ell} right) left [a _ { ell} '' '- ell ^ {2 } a _ { ell} '+ i (b _ { ell}' '' - ell ^ {2} b _ { ell} ') right] right }. end {zarovnáno}}}$

Okrajové podmínky

${ displaystyle a_ {k} '(0) = b_ {k} (0) = a_ {k} ( infty) = b_ {k} ( infty) = 0}$

a odpovídající podmínka symetrie stačí k vyřešení problému. Je možné ukázat, že netriviální řešení existuje pouze tehdy, když ${ displaystyle lambda> 1.}$ Při numerickém řešení této rovnice je ověřeno, že k dosažení přesných výsledků stačí ponechat prvních 7 až 8 výrazů.^[6] Řešení, když ${ displaystyle lambda = 1}$ je ${ displaystyle psi = cos x}$ byl již objeven Craikem a Criminale v roce 1986.^[7]

Reference