Burgery vír - Burgers vortex - Wikipedia

v dynamika tekutin, Burgery vír je přesným řešením Navier-Stokesovy rovnice vládnoucí viskózní tok, pojmenoval podle Jan Burgers.^[1] Burgerský vír popisuje stacionární, podobný tok. Radiální tok směrem dovnitř má tendenci se soustředit vířivost v úzkém sloupci kolem osy symetrie. Ve stejnou dobu, viskózní difúze má tendenci šířit vířivost. Stacionární vír Burgers vznikne, když se oba efekty vyrovnají.

Burgerský vír, kromě toho, že slouží jako ilustrace protahování vírů mechanismus, může popsat takové toky jako tornáda, kde je vířivost zajištěna spojitou proudění - řízený protahování vírů.

Pole toku

Tok víru Burgers je popsán válcovitě ${ displaystyle (r, theta, z)}$ souřadnice. Za předpokladu axiální symetrie (č ${ displaystyle theta}$-dependence), tokové pole spojené s osovým souměrem tok stagnačních bodů je považován:

${ displaystyle v_ {r} = - alfa r,}$

${ displaystyle v_ {z} = 2 alpha z,}$

${ displaystyle v _ { theta} = { frac { Gamma} {2 pi r}} g (r),}$

kde ${ displaystyle alpha> 0}$ (rychlost deformace) a ${ displaystyle Gamma> 0}$ (oběh) jsou konstanty. Tok uspokojuje rovnice spojitosti dvěma prvními z výše uvedených rovnic. Azimutální hybnost rovnice Navier-Stokesových rovnic se poté redukuje na^[2]

${ displaystyle r { frac { mathrm {d} ^ {2} g} { mathrm {d} r ^ {2}}} + left ({ frac { alpha r ^ {2}} { nu}} - 1 vpravo) { frac { mathrm {d} g} { mathrm {d} r}} = 0}$

Rovnice je integrována s podmínkou ${ displaystyle g ( infty) = 1}$ takže v nekonečnu se řešení chová jako potenciální vír, ale na konečném místě je tok rotační. Volba ${ displaystyle g (0) = 0}$ zajišťuje ${ displaystyle v _ { theta} = 0}$ v ose. Řešení je

${ displaystyle g = 1- exp left (- { frac { alpha r ^ {2}} {2 nu}} right).}$

Rovnice vířivosti dává pouze netriviální složku v ${ displaystyle z}$-směr, daný

${ displaystyle omega _ {z} = { frac { gama} {2 pi nu}} exp left (- { frac { alpha r ^ {2}} {2 nu}} že jo).}$

Intuitivně lze tok pochopit pohledem na tři termíny v rovnici vorticity pro ${ displaystyle omega _ {z}}$. Axiální rychlost ${ displaystyle v_ {z}}$ zesiluje vířivost vírového jádra v ose protahováním vírů. Zesílená vířivost se snaží radiálně difundovat ven, ale brání jí konvekce radiální vířivosti kvůli ${ displaystyle v_ {r}}$. Trojcestná rovnováha představuje stabilní řešení.

Sullivanův vír

V roce 1959 Roger D. Sullivan rozšířil vírové řešení Burgers tím, že zvážil řešení formy^[3]

${ displaystyle v_ {r} = - alpha r + { frac {1} {r}} f ( eta),}$

${ displaystyle v_ {z} = 2 alpha z left [1 - { frac {f '( eta)} {2 nu}} right],}$

${ displaystyle v _ { theta} = { frac { Gamma} {2 pi r}} { frac {g ( eta)} {g ( infty)}},}$

kde ${ displaystyle eta = alpha r ^ {2} / (2 nu)}$. Funkce ${ displaystyle f ( eta)}$ a ${ displaystyle g ( eta)}$ jsou dány

${ displaystyle f ( eta) = 6 nu (1-e ^ {- eta}),}$

${ displaystyle g ( eta) = { frac { nu} { alpha}} int _ {0} ^ { eta} exp left [-t + 3 int _ {0} ^ {t } { frac {1-e ^ {- s}} {s}} mathrm {d} s vpravo] mathrm {d} t.}$

Pro víry Burgers ${ displaystyle v_ {r} <0}$, ${ displaystyle v _ { theta}> 0}$ a ${ displaystyle v_ {z} / z> 0}$ jsou vždy pozitivní, výsledek Sullivans to ukazuje ${ displaystyle v_ {r}> 0}$ pro ${ displaystyle eta leq 2.821}$ a ${ displaystyle v_ {z} / z <0}$ pro ${ displaystyle eta leq 1,099}$. Sullivanův vír tedy připomíná Burgerský vír ${ displaystyle eta> 2,821}$, ale vyvíjí dvoubunkovou strukturu poblíž osy kvůli změně znaménka ${ displaystyle v_ {z} / z}$.

Viz také

• Kerr – Doldův vír

Reference