Kalais 3^d dohad - Kalais 3^d conjecture - Wikipedia

Question, Web Fundamentals.svgNevyřešený problém v matematice:
Má každý -dimenzionální centrálně symetrický polytop má alespoň neprázdné tváře?
(více nevyřešených úloh z matematiky)

V geometrii, Kalai je 3d dohad je dohad na polyedrická kombinatorika z centrálně symetrický polytopes od výrobce Gil Kalai v roce 1989.[1] Uvádí se v něm, že každý d-dimenzionální centrálně symetrický polytop má alespoň 3d neprázdný tváře (včetně polytopu jako tváře, ale bez prázdné sady).

Příklady

Krychle a osmistěn, dva příklady, u nichž je vazba domněnky těsná

Ve dvou rozměrech, nejjednodušší centrálně symetrický konvexní polygony jsou rovnoběžníky, které mají čtyři vrcholy, čtyři hrany a jeden mnohoúhelník; 4 + 4 + 1 = 9 = 32. A krychle je centrálně symetrický a má 8 vrcholů, 12 hran, 6 čtvercových stran a 1 těleso; 8 + 12 + 6 + 1 = 27 = 33. Další trojrozměrný konvexní mnohostěn, pravidelný osmistěn, je také centrálně symetrický a má 6 vrcholů, 12 hran, 8 trojúhelníkových stran a 1 těleso; 6 + 12 + 8 + 1 = 27 = 33.

Ve vyšších dimenzích je hyperkrychle [0,1]d má přesně 3d plochy, z nichž každou lze určit zadáním, pro každou z d souřadnicové osy, ať už plocha promítá na tuto osu do bodu 0, bodu 1 nebo intervalu [0,1]. Obecněji, každý Hannerův mnohostěn má přesně 3d tváře. Pokud je Kalaiho domněnka pravdivá, tyto polytopy by patřily mezi centrálně symetrické polytopy s co nejmenším počtem tváří.[1]

Zobecnění

Ve stejné práci jako ta, ve které 3d objeví se domněnka, Kalai se domníval silněji než F-vektor každého konvexního centrálně symetrického mnohostěnu P dominuje F-vektor alespoň jednoho Hannerova mnohostoru H stejné dimenze. To znamená, že pro každé číslo i od 0 do dimenze P, počet i-rozměrné tváře P je větší nebo roven počtu i-rozměrné tváře H. Pokud by to byla pravda, znamenalo by to pravdu o 3d dohad; silnější domněnka však byla později vyvrácena.[2]

Postavení

Je známo, že domněnka platí .[2] Je také známo, že platí pro jednoduché polytopy: vyplývá v tomto případě z domněnky Imre Bárány a László Lovász  (1982 ) že každý centrálně symetrický zjednodušený mnohostěn má alespoň tolik tváří každé dimenze jako příčný mnohostěn, což dokazuje Richard Stanley  (1987 ).[3][4] Ve skutečnosti tyto dva předchozí články citoval Kalai jako součást základu pro jeho domněnku.[1] Další speciální třídou polytopů, u nichž je domněnka prokázána, jsou Hansen polytopy z rozdělené grafy, které použili Ragnar Freij, Matthias Henze a Moritz Schmitt a kol. (2013 ) vyvrátit silnější dohady Kalai.[5]

3d domněnka zůstává otevřená pro libovolné polytopy ve vyšších dimenzích.

Reference

  1. ^ A b C Kalai, Gil (1989), „Počet tváří centrálně symetrických polytopů“, Grafy a kombinatorika, 5 (1): 389–391, doi:10.1007 / BF01788696, PAN  1554357.
  2. ^ A b Sanyal, Raman; Werner, Axel; Ziegler, Günter M. (2009), „O Kalaiho domněnkách o centrálně symetrických polytopech“, Diskrétní a výpočetní geometrie, 41 (2): 183–198, arXiv:0708.3661, doi:10.1007 / s00454-008-9104-8, PAN  2471868/
  3. ^ Bárány, Imre; Lovász, László (1982), „Borsukova věta a počet aspektů centrálně symetrických polytopů“, Acta Mathematica Academiae Scientiarum Hungaricae, 40 (3–4): 323–329, doi:10.1007 / BF01903592, PAN  0686332.
  4. ^ Stanley, Richard P. (1987), „O počtu ploch centrálně symetrických jednoduchých polytopů“, Grafy a kombinatorika, 3 (1): 55–66, doi:10.1007 / BF01788529, PAN  0932113.
  5. ^ Freij, Ragnar; Henze, Matthias; Schmitt, Moritz W .; Ziegler, Günter M. (2013), „Face numbers of centrally symetric polytopes produced from split graphs“, Electronic Journal of Combinatorics, 20 (2): # P32, arXiv:1201.5790, doi:10.37236/3315, PAN  3066371.