Jurkat – Richertova věta - Jurkat–Richert theorem

The Jurkat – Richertova věta je matematická věta v teorie sít. Je klíčovou složkou důkazů o Chenova věta na Goldbachova domněnka.^[1]^:272V roce 1965 to prokázali Wolfgang B. Jurkat a Hans-Egon Richert.^[2]

Výrok věty

Tato formulace pochází od společnosti Diamond & Halapartna.^[3]^:81Další formulace jsou v Jurkat & Richert,^[2]^:230 Halberstam & Richert,^[4]^:231a Nathanson.^[1]^:257

Předpokládat A je konečná posloupnost celých čísel a P je sada prvočísel. Psát si A_d pro počet položek v A které jsou dělitelné d, a piš P(z) pro součin prvků v P které jsou menší než z. Napište ω (d) pro multiplikativní funkce takové, že ω (str)/str je přibližně podíl prvků A dělitelné str, psát si X pro jakékoli vhodné přiblížení k |A| a zbytek zapište jako

{displaystyle r_ {A} (d) = left | A_ {d} ight | - {frac {omega (d)} {d}} X.}

Psát si S(A,P,z) pro počet položek v A které jsou relativně nejlepší P(z). Psát si

{displaystyle V (z) = prod _ {připnout P, ​​p

Napsat ν (m) pro počet odlišných hlavních dělitelů m. Psát si F₁ a F₁ pro funkce splňující určité diferenciální diferenciální rovnice (viz Diamond & Halberstam^[3]^:67–68 pro definici a vlastnosti).

Předpokládáme, že rozměr (hustota prosévání) je 1: to znamená, že existuje konstanta C tak, že po dobu 2 ≤ z < w my máme

{displaystyle prod _ {zleq p

(Kniha Diamond & Halberstam^[3] rozšiřuje teorém na dimenze vyšší než 1.) Potom Jurkat – Richertova věta uvádí, že pro libovolná čísla y a z s 2 ≤ z ≤ y ≤ X my máme

{displaystyle S (A, P, z) leq XV (z) left (F_ {1} left ({frac {log y} {log z}} ight) + Oleft ({frac {(log log y) ^ {3 / 4}} {(log y) ^ {1/4}}} ight) ight) + součet _ {m | P (z), m

a

{displaystyle S (A, P, z) geq XV (z) left (f_ {1} left ({frac {log y} {log z}} ight) -Oleft ({frac {(log log y) ^ {3 / 4}} {(log y) ^ {1/4}}} ight) ight) -sum _ {m | P (z), m

Poznámky

^ ^A ^b Nathanson, Melvyn B. (1996). Teorie aditivních čísel: Klasické základy. Postgraduální texty z matematiky. 164. Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-94656-6. Zbl 0859.11003. Citováno 2009-03-14.
^ ^A ^b Jurkat, W. B .; Richert, H.-E. (1965). „Vylepšení Selbergovy sítové metody I“ (PDF). Acta Arithmetica. XI: 217–240. ISSN 0065-1036. Zbl 0128.26902. Citováno 2009-02-17.
^ ^A ^b ^C Diamond, Harold G .; Halberstam, Heini (2008). Metoda vyššího rozměru síta: s postupy pro výpočet funkcí síta. Cambridge Tracts v matematice. 177. S Williamem F. Galwayem. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-89487-6. Zbl 1207.11099.
^ Halberstam, Heini; Richert, H.-E. (1974). Sítové metody. Monografie London Mathematical Society. 4. London: Academic Press. ISBN 0-12-318250-6. PAN 0424730. Zbl 0298.10026.

[Nathanson-1] A ^b Nathanson, Melvyn B. (1996). Teorie aditivních čísel: Klasické základy. Postgraduální texty z matematiky. 164. Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-94656-6. Zbl 0859.11003. Citováno 2009-03-14.

[JR-2] A ^b Jurkat, W. B .; Richert, H.-E. (1965). „Vylepšení Selbergovy sítové metody I“ (PDF). Acta Arithmetica. XI: 217–240. ISSN 0065-1036. Zbl 0128.26902. Citováno 2009-02-17.

[DH-3] A ^b ^C Diamond, Harold G .; Halberstam, Heini (2008). Metoda vyššího rozměru síta: s postupy pro výpočet funkcí síta. Cambridge Tracts v matematice. 177. S Williamem F. Galwayem. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-89487-6. Zbl 1207.11099.

[HR-4] Halberstam, Heini; Richert, H.-E. (1974). Sítové metody. Monografie London Mathematical Society. 4. London: Academic Press. ISBN 0-12-318250-6. PAN 0424730. Zbl 0298.10026.

[1]

[2]

[3]

[4]