Jucys – Murphyho prvek - Jucys–Murphy element - Wikipedia

v matematika, Jucys – Murphyho prvky v skupinová algebra ${ displaystyle mathbb {C} [S_ {n}]}$ z symetrická skupina, pojmenoval podle Algimantas Adolfas Jucys a G. E. Murphy, jsou definovány jako součet transpozice podle vzorce:

${ displaystyle X_ {1} = 0, ~~~ X_ {k} = (1k) + (2k) + cdots + (k-1 k), ~~~ k = 2, tečky, n.}$

Hrají důležitou roli v teorie reprezentace z symetrická skupina.

Vlastnosti

Generují komutativní subalgebru o ${ displaystyle mathbb {C} [S_ {n}]}$. Navíc, X_n dojíždí se všemi prvky ${ displaystyle mathbb {C} [S_ {n-1}]}$.

Vektory tvořící základ Youngova „seminormálního zastoupení“ jsou vlastní vektory pro akci X_n. Pro všechny standardní Young tablo U my máme:

${ displaystyle X_ {k} v_ {U} = c_ {k} (U) v_ {U}, ~~~ k = 1, tečky, n,}$

kde C_k(U) je obsah b − A buňky (A, b) obsazeno k ve standardním Young tabloU.

Teorém (Jucys): The centrum ${ displaystyle Z ( mathbb {C} [S_ {n}])}$ skupinové algebry ${ displaystyle mathbb {C} [S_ {n}]}$ symetrické skupiny je generován symetrické polynomy v prvcích X_k.

Teorém (Jucys): Nechte t být formální proměnnou dojíždějící se vším, pak následující identita pro polynomy v proměnné t s hodnotami ve skupinové algebře ${ displaystyle mathbb {C} [S_ {n}]}$ platí:

${ displaystyle (t + X_ {1}) (t + X_ {2}) cdots (t + X_ {n}) = součet _ { sigma v S_ {n}} sigma t ^ {{ text {počet cyklů}} sigma}.}$

Teorém (Okounkov –Vershik ): Subalgebra ${ displaystyle mathbb {C} [S_ {n}]}$ generované středisky

${ displaystyle Z ( mathbb {C} [S_ {1}]), Z ( mathbb {C} [S_ {2}]), ldots, Z ( mathbb {C} [S_ {n-1} ]), Z ( mathbb {C} [S_ {n}])}$

je přesně subalgebra generovaná prvky Jucys – Murphy X_k.

Viz také

• Teorie reprezentace symetrické skupiny
• Mladý symetrizer

Reference

• Okounkov, Andreji; Vershik, Anatoly (2004), „Nový přístup k teorii reprezentace symetrických skupin. 2“, Zapiski Seminarov POMI, 307, arXiv:math.RT / 0503040(revidovaná anglická verze).

• Jucys, Algimantas Adolfas (1974), „Symetrické polynomy a střed kruhu symetrických skupin“, Rep. Mathematical Phys., 5 (1): 107–112, Bibcode:1974RpMP .... 5..107J, doi:10.1016/0034-4877(74)90019-6

• Jucys, Algimantas Adolfas (1966), „O mladých operátorech symetrické skupiny“, Lietuvos Fizikos Rinkinys, 6: 163–180

• Jucys, Algimantas Adolfas (1971), „Factorization of Young projection operators for the symetric group“, Lietuvos Fizikos Rinkinys, 11: 5–10

• Murphy, G. E. (1981), „Nová konstrukce Youngova seminárního znázornění symetrické skupiny“, J. Algebra, 69 (2): 287–297, doi:10.1016/0021-8693(81)90205-2