Jeffery – Hamelův tok - Jeffery–Hamel flow - Wikipedia

v dynamika tekutin Jeffery – Hamelův tok je tok vytvořený sbíhajícím se nebo rozbíhajícím se kanálem se zdrojem nebo jímkou ​​objemu tekutiny v průsečíku dvou rovinných stěn. Je pojmenován po George Barker Jeffery (1915)^[1] a Georg Hamel (1917),^[2] ale to bylo následně studováno mnoha významnými vědci jako např von Kármán a Levi-Civita,^[3] Walter Tollmien,^[4] F. Noether,^[5] W.R. Dean,^[6] Rosenhead,^[7] Landau,^[8] G.K. Batchelor^[9] atd. Kompletní sadu řešení popsal Edward Fraenkel v roce 1962.^[10]

Popis toku

Zvažte dvě stacionární rovinné stěny s konstantním objemovým průtokem ${ displaystyle Q}$ je vstřikován / nasáván v průsečíku rovných stěn a nechán být úhel podřízený dvěma stěnami ${ displaystyle 2 alpha}$. Vezměte válcovou souřadnici ${ displaystyle (r, theta, z)}$ systém s ${ displaystyle r = 0}$ představující průsečík a ${ displaystyle theta = 0}$ středová čára a ${ displaystyle (u, v, w)}$ jsou odpovídající složky rychlosti. Výsledný tok je dvourozměrný, pokud jsou desky v axiálním směru nekonečně dlouhé ${ displaystyle z}$ směr, nebo jsou desky delší, ale konečné, pokud bychom zanedbávali okrajové efekty a ze stejného důvodu lze předpokládat, že tok je zcela radiální, tj. ${ displaystyle u = u (r, theta), v = 0, w = 0}$.

Pak rovnice kontinuity a nestlačitelná Navier-Stokesovy rovnice snížit na

${ displaystyle { begin {aligned} { frac { částečný (ru)} { částečný r}} & = 0, [6pt] u { frac { částečný u} { částečný r}} & = - { frac {1} { rho}} { frac { částečné p} { částečné r}} + nu vlevo [{ frac {1} {r}} { frac { částečné} { částečné r}} levé (r { frac { částečné u} { částečné r}} pravé) + { frac {1} {r ^ {2}}} { frac { částečné ^ { 2} u} { částečné theta ^ {2}}} - { frac {u} {r ^ {2}}} vpravo] [6pt] 0 & = - { frac {1} { rho r}} { frac { částečné p} { částečné theta}} + { frac {2 nu} {r ^ {2}}} { frac { částečné u} { částečné theta}} end {zarovnáno}}}$

Okrajové podmínky jsou neklouzavý stav na obou stěnách a třetí podmínka je odvozena od skutečnosti, že objemový tok vstřikovaný / nasávaný v průsečíku je konstantní přes povrch v jakémkoli poloměru.

${ displaystyle u ( pm alpha) = 0, quad Q = int _ {- alpha} ^ { alpha} ur , d theta}$

Formulace

První rovnice to říká ${ displaystyle ru}$ je jen funkce ${ displaystyle theta}$, funkce je definována jako

${ displaystyle F ( theta) = { frac {ru} { nu}}.}$

Různí autoři definují funkci odlišně, například Landau^[8] definuje funkci s faktorem ${ displaystyle 6}$. Ale po Whitham,^[11] Rosenhead^[12] the ${ displaystyle theta}$ hybná rovnice se stává

${ displaystyle { frac {1} { rho}} { frac { částečné p} { částečné theta}} = { frac {2 nu ^ {2}} {r ^ {2}}} { frac {dF} {d theta}}}$

Nyní nechám

${ displaystyle { frac {p-p _ { infty}} { rho}} = { frac { nu ^ {2}} {r ^ {2}}} P ( theta),}$

the ${ displaystyle r}$ a ${ displaystyle theta}$ rovnice hybnosti se sníží na

${ displaystyle P = - { frac {1} {2}} (F ^ {2} + F '')}$

${ displaystyle P '= 2F', quad Rightarrow quad P = 2F + C}$

a jeho dosazení do předchozí rovnice (k odstranění tlaku) má za následek

${ displaystyle F '' + F ^ {2} + 4F + 2C = 0}$

Vynásobením ${ displaystyle F '}$ a integrace jednou,

${ displaystyle { frac {1} {2}} F '^ {2} + { frac {1} {3}} F ^ {3} + 2F ^ {2} + 2CF = D,}$

${ displaystyle { frac {1} {2}} F '^ {2} + { frac {1} {3}} (F ^ {3} + 6F ^ {2} + 6CF-3D) = 0}$

kde ${ displaystyle C, D}$ jsou konstanty, které se určují z okrajových podmínek. Výše uvedenou rovnici lze pohodlně přepsat třemi dalšími konstantami ${ displaystyle a, b, c}$ jako kořeny kubického polynomu, přičemž pouze dvě konstanty jsou libovolné, třetí konstanta se vždy získá z ostatních dvou, protože součet kořenů je ${ displaystyle a + b + c = -6}$.

${ displaystyle { frac {1} {2}} F '^ {2} + { frac {1} {3}} (F-a) (F-b) (F-c) = 0,}$

${ displaystyle { frac {1} {2}} F '^ {2} - { frac {1} {3}} (a-F) (F-b) (F-c) = 0.}$

Okrajové podmínky se snižují na

${ displaystyle F ( pm alpha) = 0, quad { frac {Q} { nu}} = int _ {- alpha} ^ { alpha} F , d theta}$

kde ${ displaystyle Re = Q / nu}$ je odpovídající Reynoldsovo číslo. Řešení lze vyjádřit pomocí eliptické funkce. Pro konvergentní tok ${ displaystyle Q <0}$, řešení existuje pro všechny ${ displaystyle Re}$, ale pro odlišný tok ${ displaystyle Q> 0}$, řešení existuje pouze pro určitý rozsah ${ displaystyle Re}$.

Dynamická interpretace^[13]

Rovnice má stejnou formu jako netlumený nelineární oscilátor (s kubickým potenciálem), lze předstírat, že ${ displaystyle theta}$ je čas, ${ displaystyle F}$ je přemístění a ${ displaystyle F '}$ je rychlost částice s jednotkovou hmotností, pak rovnice představuje energetickou rovnici (${ displaystyle K.E. + P.E. = 0}$, kde ${ displaystyle K.E. = { frac {1} {2}} F '^ {2}}$ a ${ displaystyle P.E. = V (F)}$ ) s nulovou celkovou energií, pak snadno zjistíte, že potenciální energie je

${ displaystyle V (F) = - { frac {1} {3}} (a-F) (F-b) (F-c)}$

kde ${ displaystyle V leq 0}$ v pohybu. Protože částice začíná v ${ displaystyle F = 0}$ pro ${ displaystyle theta = - alfa}$ a končí v ${ displaystyle F = 0}$ pro ${ displaystyle theta = alfa}$, je třeba vzít v úvahu dva případy.

• První případ ${ displaystyle b, c}$ jsou komplexní konjugáty a ${ displaystyle a> 0}$. Částice začíná na ${ displaystyle F = 0}$ s konečnou kladnou rychlostí a dosahuje ${ displaystyle F = a}$ kde je jeho rychlost ${ displaystyle F '= 0}$ a zrychlení je ${ displaystyle F '' = - dV / dF <0}$ a vrátí se do ${ displaystyle F = 0}$ ve finále čas. Pohyb částic ${ displaystyle 0$ představuje čistý odtokový pohyb, protože ${ displaystyle F> 0}$ a také je to symetrické ${ displaystyle theta = 0}$.
• Druhý případ ${ displaystyle c$, všechny konstanty jsou skutečné. Pohyb z ${ displaystyle F = 0}$ na ${ displaystyle F = a}$ na ${ displaystyle F = 0}$ představuje čistý symetrický odtok jako v předchozím případě. A pohyb ${ displaystyle F = 0}$ na ${ displaystyle F = b}$ na ${ displaystyle F = 0}$ s ${ displaystyle F <0}$ na Pořád(${ displaystyle - alpha leq theta leq alpha}$) představuje čistý symetrický přítok. Částice ale také může mezi nimi oscilovat ${ displaystyle b leq F leq a}$, představující oblasti přítoku i odtoku a tok již není třeba symetrický ${ displaystyle theta = 0}$.

Bohatou strukturu této dynamické interpretace lze nalézt v Rosenhead (1940).^[7]

Čistý odtok

Pro čistý odliv, protože ${ displaystyle F = a}$ na ${ displaystyle theta = 0}$, integrace řídící rovnice dává

${ displaystyle theta = { sqrt { frac {3} {2}}} int _ {F} ^ {a} { frac {dF} { sqrt {(aF) (Fb) (Fc)) }}}}$

a stanou se okrajové podmínky

${ displaystyle alpha = { sqrt { frac {3} {2}}} int _ {0} ^ {a} { frac {dF} { sqrt {(aF) (Fb) (Fc)) }}}, quad Re = 2 { sqrt { frac {3} {2}}} int _ {0} ^ { alpha} { frac {FdF} { sqrt {(aF) (Fb) (Fc))}}}.}$

Rovnice lze zjednodušit standardními transformacemi uvedenými například v Jeffreys.^[14]

• První případ ${ displaystyle b, c}$ jsou komplexní konjugáty a ${ displaystyle a> 0}$ vede k

${ displaystyle F ( theta) = a - { frac {3M ^ {2}} {2}} { frac {1- operatorname {cn} (M theta, kappa)} {1+ operatorname {cn} (M theta, kappa)}}}$

${ displaystyle M ^ {2} = { frac {2} {3}} { sqrt {(ab) (ac)}}, quad kappa ^ {2} = { frac {1} {2} } + { frac {a + 2} {2M ^ {2}}}}$

kde ${ displaystyle operatorname {sn}, operatorname {cn}}$ jsou Jacobiho eliptické funkce.

• Druhý případ ${ displaystyle c$ vede k

${ displaystyle F ( theta) = a-6k ^ {2} m ^ {2} operatorname {sn} ^ {2} (m theta, k)}$

${ displaystyle m ^ {2} = { frac {1} {6}} (a-c), quad k ^ {2} = { frac {a-c} {a-c}}.}$

Omezující forma

Omezující podmínka se získá konstatováním, že čistý odtok není možný, když ${ displaystyle F '( pm alpha) = 0}$, což znamená ${ displaystyle b = 0}$ z řídící rovnice. Za těmito kritickými podmínkami tedy neexistuje žádné řešení. Kritický úhel ${ displaystyle alpha _ {c}}$ darováno

${ displaystyle { begin {aligned} alpha _ {c} & = { sqrt { frac {3} {2}}} int _ {0} ^ {a} { frac {dF} { sqrt {F (aF) (F + a + 6))}}}, & = { sqrt { frac {3} {2a}}} int _ {0} ^ {1} { frac {dt } { sqrt {t (1-t) {1+ (1 + 6 / a) t }}}}, & = { frac {K (k ^ {2})} {m ^ { 2}}} end {zarovnáno}}}$

kde

${ displaystyle m ^ {2} = { frac {3 + a} {3}}, quad k ^ {2} = { frac {1} {2}} vlevo ({ frac {a} { 3 + a}} vpravo)}$

kde ${ displaystyle K (k ^ {2})}$ je kompletní eliptický integrál prvního druhu. Pro velké hodnoty ${ displaystyle a}$, stane se kritický úhel ${ displaystyle alpha _ {c} = { sqrt { frac {3} {a}}} K left ({ frac {1} {2}} right) = { frac {3.211} { sqrt {a}}}}$.

Odpovídající kritický Reynoldsovo číslo nebo objemový tok je dán vztahem

${ displaystyle { begin {aligned} Re_ {c} = { frac {Q_ {c}} { nu}} & = 2 int _ {0} ^ { alpha _ {c}} (a-6k ^ {2} m ^ {2} operatorname {sn} ^ {2} m theta) , d theta, & = { frac {12k ^ {2}} { sqrt {1-2k ^ {2}}}} int _ {0} ^ {K} operatorname {cn} ^ {2} tdt, & = { frac {12} { sqrt {1-2k ^ {2}}} } [E (k ^ {2}) - (1-k ^ {2}) K (k ^ {2})] end {zarovnáno}}}$

kde ${ displaystyle E (k ^ {2})}$ je úplný eliptický integrál druhého druhu. Pro velké hodnoty ${ displaystyle a, left ( k ^ {2} sim { frac {1} {2}} - { frac {3} {2a}} right)}$, stane se kritické Reynoldsovo číslo nebo objemový tok ${ displaystyle Re_ {c} = { frac {Q_ {c}} { nu}} = 12 { sqrt { frac {a} {3}}} left [E left ({ frac {1 } {2}} right) - { frac {1} {2}} K left ({ frac {1} {2}} right) right] = 2,934 { sqrt {a}}}$.

Čistý přítok

U čistého přítoku je implicitní řešení dáno vztahem

${ displaystyle theta = { sqrt { frac {3} {2}}} int _ {b} ^ {F} { frac {dF} { sqrt {(aF) (Fb) (Fc)) }}}}$

a okrajové podmínky se stanou

${ displaystyle alpha = { sqrt { frac {3} {2}}} int _ {b} ^ {0} { frac {dF} { sqrt {(aF) (Fb) (Fc)) }}}, quad Re = 2 { sqrt { frac {3} {2}}} int _ { alpha} ^ {0} { frac {FdF} { sqrt {(aF) (Fb) (Fc))}}}.}$

Čistý přítok je možný pouze tehdy, když jsou všechny konstanty skutečné ${ displaystyle c$ a řešení je dáno

${ displaystyle F ( theta) = a-6k ^ {2} m ^ {2} operatorname {sn} ^ {2} (Km theta, k) = b + 6k ^ {2} m ^ {2} operatorname {cn} ^ {2} (Km theta, k)}$

${ displaystyle m ^ {2} = { frac {1} {6}} (a-c), quad k ^ {2} = { frac {a-c} {a-c}}}$

kde ${ displaystyle K (k ^ {2})}$ je kompletní eliptický integrál prvního druhu.

Omezující forma

Jak se Reynoldsovo číslo zvyšuje (${ displaystyle -b}$ se zvětšuje), tok má tendenci se uniformovat (a tím se blíží potenciální tok řešení), s výjimkou mezních vrstev poblíž stěn. Od té doby ${ displaystyle m}$ je velký a ${ displaystyle alpha}$ je uvedeno, z řešení je zřejmé, že ${ displaystyle K}$ musí být proto velký ${ displaystyle k sim 1}$. Ale když ${ displaystyle k přibližně 1}$, ${ displaystyle operatorname {sn} t přibližně tanh t, c přibližně b, a přibližně -2b}$, řešení se stává

${ displaystyle F ( theta) = b vlevo {3 tanh ^ {2} vlevo [{ sqrt {- { frac {b} {2}}}} ( alpha - theta) + tanh ^ {- 1} { sqrt { frac {2} {3}}} doprava] -2 doprava }.}$

Je jasné že ${ displaystyle F přibližně b}$ všude kromě hraniční vrstvy tloušťky ${ displaystyle O left ({ sqrt {- { frac {b} {2}}}} right)}$. Objemový tok je ${ displaystyle Q / nu přibližně 2 alfa b}$ aby ${ displaystyle | Re | = O (| b |)}$ a mezní vrstvy mají klasickou tloušťku ${ displaystyle O left (| Re | ^ {1/2} right)}$.

Reference