v dynamika tekutin Jeffery – Hamelův tok je tok vytvořený sbíhajícím se nebo rozbíhajícím se kanálem se zdrojem nebo jímkou objemu tekutiny v průsečíku dvou rovinných stěn. Je pojmenován po George Barker Jeffery (1915)[1] a Georg Hamel (1917),[2] ale to bylo následně studováno mnoha významnými vědci jako např von Kármán a Levi-Civita,[3] Walter Tollmien,[4] F. Noether,[5] W.R. Dean,[6] Rosenhead,[7] Landau,[8] G.K. Batchelor[9] atd. Kompletní sadu řešení popsal Edward Fraenkel v roce 1962.[10]
Popis toku
Zvažte dvě stacionární rovinné stěny s konstantním objemovým průtokem
je vstřikován / nasáván v průsečíku rovných stěn a nechán být úhel podřízený dvěma stěnami
. Vezměte válcovou souřadnici
systém s
představující průsečík a
středová čára a
jsou odpovídající složky rychlosti. Výsledný tok je dvourozměrný, pokud jsou desky v axiálním směru nekonečně dlouhé
směr, nebo jsou desky delší, ale konečné, pokud bychom zanedbávali okrajové efekty a ze stejného důvodu lze předpokládat, že tok je zcela radiální, tj.
.
Pak rovnice kontinuity a nestlačitelná Navier-Stokesovy rovnice snížit na
![{ displaystyle { begin {aligned} { frac { částečný (ru)} { částečný r}} & = 0, [6pt] u { frac { částečný u} { částečný r}} & = - { frac {1} { rho}} { frac { částečné p} { částečné r}} + nu vlevo [{ frac {1} {r}} { frac { částečné} { částečné r}} levé (r { frac { částečné u} { částečné r}} pravé) + { frac {1} {r ^ {2}}} { frac { částečné ^ { 2} u} { částečné theta ^ {2}}} - { frac {u} {r ^ {2}}} vpravo] [6pt] 0 & = - { frac {1} { rho r}} { frac { částečné p} { částečné theta}} + { frac {2 nu} {r ^ {2}}} { frac { částečné u} { částečné theta}} end {zarovnáno}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74ebf9a8673c3c774dbe9bc6cc948df712253328)
Okrajové podmínky jsou neklouzavý stav na obou stěnách a třetí podmínka je odvozena od skutečnosti, že objemový tok vstřikovaný / nasávaný v průsečíku je konstantní přes povrch v jakémkoli poloměru.

Formulace
První rovnice to říká
je jen funkce
, funkce je definována jako

Různí autoři definují funkci odlišně, například Landau[8] definuje funkci s faktorem
. Ale po Whitham,[11] Rosenhead[12] the
hybná rovnice se stává

Nyní nechám

the
a
rovnice hybnosti se sníží na


a jeho dosazení do předchozí rovnice (k odstranění tlaku) má za následek

Vynásobením
a integrace jednou,


kde
jsou konstanty, které se určují z okrajových podmínek. Výše uvedenou rovnici lze pohodlně přepsat třemi dalšími konstantami
jako kořeny kubického polynomu, přičemž pouze dvě konstanty jsou libovolné, třetí konstanta se vždy získá z ostatních dvou, protože součet kořenů je
.


Okrajové podmínky se snižují na

kde
je odpovídající Reynoldsovo číslo. Řešení lze vyjádřit pomocí eliptické funkce. Pro konvergentní tok
, řešení existuje pro všechny
, ale pro odlišný tok
, řešení existuje pouze pro určitý rozsah
.
Dynamická interpretace[13]
Rovnice má stejnou formu jako netlumený nelineární oscilátor (s kubickým potenciálem), lze předstírat, že
je čas,
je přemístění a
je rychlost částice s jednotkovou hmotností, pak rovnice představuje energetickou rovnici (
, kde
a
) s nulovou celkovou energií, pak snadno zjistíte, že potenciální energie je

kde
v pohybu. Protože částice začíná v
pro
a končí v
pro
, je třeba vzít v úvahu dva případy.
- První případ
jsou komplexní konjugáty a
. Částice začíná na
s konečnou kladnou rychlostí a dosahuje
kde je jeho rychlost
a zrychlení je
a vrátí se do
ve finále čas. Pohyb částic
představuje čistý odtokový pohyb, protože
a také je to symetrické
. - Druhý případ
, všechny konstanty jsou skutečné. Pohyb z
na
na
představuje čistý symetrický odtok jako v předchozím případě. A pohyb
na
na
s
na Pořád(
) představuje čistý symetrický přítok. Částice ale také může mezi nimi oscilovat
, představující oblasti přítoku i odtoku a tok již není třeba symetrický
.
Bohatou strukturu této dynamické interpretace lze nalézt v Rosenhead (1940).[7]
Čistý odtok
Pro čistý odliv, protože
na
, integrace řídící rovnice dává

a stanou se okrajové podmínky

Rovnice lze zjednodušit standardními transformacemi uvedenými například v Jeffreys.[14]
- První případ
jsou komplexní konjugáty a
vede k


kde
jsou Jacobiho eliptické funkce.
- Druhý případ
vede k


Omezující forma
Omezující podmínka se získá konstatováním, že čistý odtok není možný, když
, což znamená
z řídící rovnice. Za těmito kritickými podmínkami tedy neexistuje žádné řešení. Kritický úhel
darováno

kde

kde
je kompletní eliptický integrál prvního druhu. Pro velké hodnoty
, stane se kritický úhel
.
Odpovídající kritický Reynoldsovo číslo nebo objemový tok je dán vztahem
![{ displaystyle { begin {aligned} Re_ {c} = { frac {Q_ {c}} { nu}} & = 2 int _ {0} ^ { alpha _ {c}} (a-6k ^ {2} m ^ {2} operatorname {sn} ^ {2} m theta) , d theta, & = { frac {12k ^ {2}} { sqrt {1-2k ^ {2}}}} int _ {0} ^ {K} operatorname {cn} ^ {2} tdt, & = { frac {12} { sqrt {1-2k ^ {2}}} } [E (k ^ {2}) - (1-k ^ {2}) K (k ^ {2})] end {zarovnáno}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9dc0f4eeff4a4253d7f6b52eadc2333382d275e1)
kde
je úplný eliptický integrál druhého druhu. Pro velké hodnoty
, stane se kritické Reynoldsovo číslo nebo objemový tok
.
Čistý přítok
U čistého přítoku je implicitní řešení dáno vztahem

a okrajové podmínky se stanou

Čistý přítok je možný pouze tehdy, když jsou všechny konstanty skutečné
a řešení je dáno


kde
je kompletní eliptický integrál prvního druhu.
Omezující forma
Jak se Reynoldsovo číslo zvyšuje (
se zvětšuje), tok má tendenci se uniformovat (a tím se blíží potenciální tok řešení), s výjimkou mezních vrstev poblíž stěn. Od té doby
je velký a
je uvedeno, z řešení je zřejmé, že
musí být proto velký
. Ale když
,
, řešení se stává
![{ displaystyle F ( theta) = b vlevo {3 tanh ^ {2} vlevo [{ sqrt {- { frac {b} {2}}}} ( alpha - theta) + tanh ^ {- 1} { sqrt { frac {2} {3}}} doprava] -2 doprava }.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bcb7782ea4c8a2d1ce6674f329edda718b125dae)
Je jasné že
všude kromě hraniční vrstvy tloušťky
. Objemový tok je
aby
a mezní vrstvy mají klasickou tloušťku
.
Reference
- ^ Jeffery, G. B. "L. Dvojrozměrný stálý pohyb viskózní tekutiny." The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science 29.172 (1915): 455–465.
- ^ Hamel, Georg. „Spiralförmige Bewegungen zäher Flüssigkeiten.“ Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung 25 (1917): 34–60.
- ^ von Kármán, a Levi-Civita. „Vorträge aus dem Gebiete der Hydro-und Aerodynamik.“ (1922)
- ^ Walter Tollmien „Handbuch der Experimentalphysik, sv. 4.“ (1931): 257.
- ^ Fritz Noether „Handbuch der physikalischen und technischen Mechanik, sv. 5.“ Leipzig, JA Barch (1931): 733.
- ^ Dean, W. R. "LXXII. Poznámka k rozdílnému toku tekutiny." The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science 18.121 (1934): 759–777.
- ^ A b Louis Rosenhead „Stabilní dvourozměrný radiální tok viskózní kapaliny mezi dvěma nakloněnými rovnými stěnami.“ Proceedings of the Royal Society of London A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences. Sv. 175. Č. 963. Královská společnost, 1940.
- ^ A b Lev Landau, a E. M. Lifshitz. „Mechanika tekutin Pergamon.“ New York 61 (1959).
- ^ G.K. Batchelor. Úvod do dynamiky tekutin. Cambridge University Press, 2000.
- ^ Fraenkel, L. E. (1962). Laminární proudění v symetrických kanálech s mírně zakřivenými stěnami, I. Na řešení Jeffery-Hamel pro proudění mezi rovnými stěnami. Sborník královské společnosti v Londýně. Řada A. Matematické a fyzikální vědy, 267 (1328), 119-138.
- ^ Whitham, G. B. „Kapitola III v laminárních hraničních vrstvách.“ (1963): 122.
- ^ Rosenhead, Louis, ed. Laminární mezní vrstvy. Clarendon Press, 1963.
- ^ Drazin, Philip G., a Norman Riley. Navier-Stokesovy rovnice: klasifikace toků a přesná řešení. Č. 334. Cambridge University Press, 2006.
- ^ Jeffreys, Harold, Bertha Swirles a Philip M. Morse. „Metody matematické fyziky.“ (1956): 32–34.