Jacobsons dohad - Jacobsons conjecture - Wikipedia
v abstraktní algebra, Jacobsonova domněnka je otevřeným problémem v teorie prstenů o křižovatce pravomocí Jacobson radikální a Noetherian ring.
Dosud bylo prokázáno pouze pro speciální typy noetherských prstenů. Existují příklady, které ukazují, že domněnka může selhat, když prsten na straně není Noetherian, takže je naprosto nezbytné, aby prsten byl oboustranný Noetherian.
Domněnka je pojmenována pro algebraistu Nathan Jacobson kdo představoval první verzi domněnky.
Prohlášení
Pro prsten R s Jacobsonovým radikálem J, záporné pravomoci jsou definovány pomocí produkt ideálů.
- Jacobsonova domněnka: Vpravo a vlevo Noetherian ring,
Jinými slovy: „Jediný prvek noetheranského prstenu ve všech silách J je 0. "
Původní domněnka, kterou představil Jacobson v roce 1956[1] zeptal se však na nekomutativní jednostranné netherianské prsteny Izrael Nathan Herstein v roce 1965 vytvořil protiklad,[2] a brzy nato Arun Vinayak Jategaonkar vytvořil jiný příklad, který byl levý hlavní ideální doména.[3] Od tohoto bodu byla domněnka přeformulována tak, aby vyžadovala oboustranné noetherovské prsteny.
Částečné výsledky
Jacobsonova domněnka byla ověřena pro konkrétní typy noetherských prstenů:
- Komutativní Všechny noetherovské prsteny uspokojí Jacobsonovu domněnku. To je důsledek Věta o křižovatce Krull.
- Plně ohraničené noetherské prsteny[4][5]
- Noetherian prsteny s Dimenze Krull 1[6]
- Noetherian prsteny splňující stav druhé vrstvy[7]
Reference
- ^ Jacobson, Nathan (1956), Struktura prstenů, American Mathematical Society, Colloquium Publications, sv. 37, 190 Hope Street, Providence, R. I .: Americká matematická společnost, str. 200, PAN 0081264CS1 maint: umístění (odkaz). Jak uvádí Brown, K. A .; Lenagan, T. H. (1982), „Poznámka k Jacobsonově domněnce o pravých noetherských prstenech“, Glasgow Mathematical Journal, 23 (1): 7–8, doi:10.1017 / S0017089500004729, PAN 0641612.
- ^ Herstein 1965.
- ^ Jategaonkar 1968.
- ^ Cauchon 1974.
- ^ Jategaonkar 1974.
- ^ Lenagan 1977.
- ^ Jategaonkar 1982.
Zdroje
- Cauchon, Gérard (1974), „Sur l'intersection des puissances du radikal d'un T-anneau noethérien“, Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série A (francouzsky), 279: 91–93, PAN 0347894
- Goodearl, K. R .; Warfield, R. B., Jr. (2004), Úvod do nekomutativních noetherských prstenů, London Mathematical Society Student Texts, 61 (2. vyd.), Cambridge: Cambridge University Press, str. Xxiv + 344, ISBN 0-521-54537-4, PAN 2080008
- Herstein, I.N. (1965), „Protiklad v noetherských kruzích“, Sborník Národní akademie věd Spojených států amerických, 54: 1036–1037, doi:10.1073 / pnas.54.4.1036, ISSN 0027-8424, PAN 0188253, PMC 219788, PMID 16578617
- Jategaonkar, Arun Vinayak (1968), „Levé hlavní ideální domény“, J. Algebra, 8: 148–155, doi:10.1016/0021-8693(68)90040-9, ISSN 0021-8693, PAN 0218387
- Jategaonkar, Arun Vinayak (1974), „Jacobsonova domněnka a moduly nad plně ohraničenými noetherskými prsteny“, J. Algebra, 30: 103–121, doi:10.1016/0021-8693(74)90195-1, ISSN 0021-8693, PAN 0352170
- Jategaonkar, Arun Vinayak (1982), „Řešitelné Lieovy algebry, polycyklické podle konečných skupin a bimodulární Krullův rozměr“, Comm. Algebra, 10 (1): 19–69, doi:10.1080/00927878208822700, ISSN 0092-7872, PAN 0674687
- Lenagan, T. H. (1977), „Noetherianské prsteny s Krull dimenzí jedna“, J. London Math. Soc., Řada 2, 15 (1): 41–47, ISSN 0024-6107, PAN 0442008
- Rowen, Louis H. (1988), Prstenová teorie. Sv. JáČistá a aplikovaná matematika, 127, Boston, MA: Academic Press Inc., str. Xxiv + 538, ISBN 0-12-599841-4, PAN 0940245