Jack funkce - Jack function

v matematika, Jack funkce je zobecněním Jackův polynom, představil Henry Jack. Jackův polynom je a homogenní, symetrický polynomiální který zobecňuje Schur a zonální polynomy a je zase zobecněn pomocí Heckman – Opdamovy polynomy a Macdonaldovy polynomy.

Definice

Funkce Jack ${ displaystyle J _ { kappa} ^ {( alpha)} (x_ {1}, x_ {2}, ldots, x_ {m})}$ z celočíselný oddíl ${ displaystyle kappa}$, parametr ${ displaystyle alpha}$, a neurčitě mnoho argumentů ${ displaystyle x_ {1}, x_ {2}, ldots, x_ {m}}$ lze rekurzivně definovat takto:

Pro m=1

${ displaystyle J_ {k} ^ {( alpha)} (x_ {1}) = x_ {1} ^ {k} (1+ alpha) cdots (1+ (k-1) alpha)}$

Pro m>1

${ displaystyle J _ { kappa} ^ {( alpha)} (x_ {1}, x_ {2}, ldots, x_ {m}) = sum _ { mu} J _ { mu} ^ {( alpha)} (x_ {1}, x_ {2}, ldots, x_ {m-1}) x_ {m} ^ {| kappa / mu |} beta _ { kappa mu},}$

kde je součet přes všechny oddíly ${ displaystyle mu}$ takové, že šikmý oddíl ${ displaystyle kappa / mu}$ je vodorovný pás, jmenovitě

${ displaystyle kappa _ {1} geq mu _ {1} geq kappa _ {2} geq mu _ {2} geq cdots geq kappa _ {n-1} geq mu _ {n-1} geq kappa _ {n}}$ (${ displaystyle mu _ {n}}$ musí být nula nebo jinak ${ displaystyle J _ { mu} (x_ {1}, ldots, x_ {n-1}) = 0}$) a

${ displaystyle beta _ { kappa mu} = { frac { prod _ {(i, j) v kappa} B _ { kappa mu} ^ { kappa} (i, j)} { prod _ {(i, j) in mu} B _ { kappa mu} ^ { mu} (i, j)}},}$

kde ${ displaystyle B _ { kappa mu} ^ { nu} (i, j)}$ rovná se ${ displaystyle kappa _ {j} '- i + alpha ( kappa _ {i} -j + 1)}$ -li ${ displaystyle kappa _ {j} '= mu _ {j}'}$ a ${ displaystyle kappa _ {j} '- já + 1 + alfa ( kappa _ {i} -j)}$ v opačném případě. Výrazy ${ displaystyle kappa '}$ a ${ displaystyle mu '}$ odkazovat na sdružené oddíly ${ displaystyle kappa}$ a ${ displaystyle mu}$, resp. Zápis ${ displaystyle (i, j) v kappa}$ znamená, že produkt převezme všechny souřadnice ${ displaystyle (i, j)}$ krabic v Mladý diagram oddílu ${ displaystyle kappa}$.

Kombinatorický vzorec

V roce 1997 F. Knop a S. Sahi ^[1] dal čistě kombinatorický vzorec pro Jackovy polynomy ${ displaystyle J _ { mu} ^ {( alpha)}}$ v n proměnné:

${ displaystyle J _ { mu} ^ {( alpha)} = součet _ {T} d_ {T} ( alpha) prod _ {s v T} x_ {T (s)}.}$

Součet je převzat za všechny přípustný obrazce tvaru ${ displaystyle lambda,}$ a

${ displaystyle d_ {T} ( alpha) = prod _ {s in T { text {critical}}} d _ { lambda} ( alpha) (s)}$

s

${ displaystyle d _ { lambda} ( alpha) (s) = alpha (a _ { lambda} (s) +1) + (l _ { lambda} (s) +1).}$

An přípustný tablo tvaru ${ displaystyle lambda}$ je výplň Youngova diagramu ${ displaystyle lambda}$ s čísly 1,2,…,n tak, že pro jakoukoli krabici (i,j) v tablo,

• ${ displaystyle T (i, j) neq T (i ', j)}$ kdykoli ${ displaystyle i '> i.}$
• ${ displaystyle T (i, j) neq T (i, j-1)}$ kdykoli ${ displaystyle j> 1}$ a ${ displaystyle i '$

Krabice ${ displaystyle s = (i, j) v lambda}$ je kritický pro tablo T -li ${ displaystyle j> 1}$ a ${ displaystyle T (i, j) = T (i, j-1).}$

Tento výsledek lze považovat za zvláštní případ obecnějšího kombinatorického vzorce pro Macdonaldovy polynomy.

C normalizace

Jackovy funkce tvoří ortogonální základnu v prostoru symetrických polynomů s vnitřním součinem:

${ displaystyle langle f, g rangle = int _ {[0,2 pi] ^ {n}} f left (e ^ {i theta _ {1}}, ldots, e ^ {i theta _ {n}} right) { overline {g left (e ^ {i theta _ {1}}, ldots, e ^ {i theta _ {n}} right)}} prod _ {1 leq j$

Tato vlastnost ortogonality není normalizací ovlivněna. Normalizace definovaná výše se obvykle označuje jako J normalizace. The C normalizace je definována jako

${ displaystyle C _ { kappa} ^ {( alpha)} (x_ {1}, ldots, x_ {n}) = { frac { alpha ^ {| kappa |} (| kappa |)! } {j _ { kappa}}} J _ { kappa} ^ {( alpha)} (x_ {1}, ldots, x_ {n}),}$

kde

${ displaystyle j _ { kappa} = prod _ {(i, j) v kappa} doleva ( kappa _ {j} '- i + alpha left ( kappa _ {i} -j + 1 right) right) left ( kappa _ {j} '- i + 1 + alpha left ( kappa _ {i} -j right) right).}$

Pro ${ displaystyle alpha = 2, C _ { kappa} ^ {(2)} (x_ {1}, ldots, x_ {n})}$ je často označován ${ displaystyle C _ { kappa} (x_ {1}, ldots, x_ {n})}$ a zavolal Zonální polynom.

P normalizace

The P normalizace je dána identitou ${ displaystyle J _ { lambda} = H '_ { lambda} P _ { lambda}}$, kde

${ displaystyle H '_ { lambda} = prod _ {s in lambda} ( alpha a _ { lambda} (s) + l _ { lambda} (s) +1)}$

a ${ displaystyle a _ { lambda}}$ a ${ displaystyle l _ { lambda}}$ označuje délka paže a nohy resp. Proto pro ${ displaystyle alpha = 1, P _ { lambda}}$ je obvyklá Schurova funkce.

Podobně jako Schurovy polynomy, ${ displaystyle P _ { lambda}}$ lze vyjádřit jako součet za Young tableaux. Každému tablo je však třeba přidat další váhu, která závisí na parametru ${ displaystyle alpha}$.

Tedy vzorec ^[2] pro funkci Jack ${ displaystyle P _ { lambda}}$ darováno

${ displaystyle P _ { lambda} = součet _ {T} psi _ {T} ( alpha) prod _ {s in lambda} x_ {T (s)}}$

kde součet převezme všechna obrazce tvaru ${ displaystyle lambda}$, a ${ Displaystyle T (s)}$ označuje položku v poli s z T.

Váha ${ displaystyle psi _ {T} ( alfa)}$ lze definovat následujícím způsobem: Každé tablo T tvaru ${ displaystyle lambda}$ lze interpretovat jako posloupnost oddílů

${ displaystyle emptyset = nu _ {1} to nu _ {2} to tečky to nu _ {n} = lambda}$

kde ${ displaystyle nu _ {i + 1} / nu _ {i}}$ definuje tvar zkosení s obsahem i v T. Pak

${ displaystyle psi _ {T} ( alfa) = prod _ {i} psi _ { nu _ {i + 1} / nu _ {i}} ( alfa)}$

kde

${ displaystyle psi _ { lambda / mu} ( alpha) = prod _ {s v R _ { lambda / mu} -C _ { lambda / mu}} { frac {( alfa a _ { mu} (s) + l _ { mu} (s) +1)} {( alpha a _ { mu} (s) + l _ { mu} (s) + alpha)}} { frac {( alpha a _ { lambda} (s) + l _ { lambda} (s) + alpha)} {( alpha a _ { lambda} (s) + l _ { lambda} (s) +1 )}}}$

a produkt je odebrán pouze přes všechny krabice s v ${ displaystyle lambda}$ takhle s má krabici od ${ displaystyle lambda / mu}$ ve stejném řádku, ale ne ve stejném sloupci.

Spojení s Schurovým polynomem

Když ${ displaystyle alpha = 1}$ funkce Jack je skalárním násobkem Schurův polynom

${ displaystyle J _ { kappa} ^ {(1)} (x_ {1}, x_ {2}, ldots, x_ {n}) = H _ { kappa} s _ { kappa} (x_ {1}, x_ {2}, ldots, x_ {n}),}$

kde

${ Displaystyle H _ { kappa} = prod _ {(i, j) in kappa} h _ { kappa} (i, j) = prod _ {(i, j) in kappa} ( kappa _ {i} + kappa _ {j} '- i-j + 1)}$

je produktem všech délek háčků ${ displaystyle kappa}$.

Vlastnosti

Pokud má oddíl více částí, než je počet proměnných, pak je funkce Jack 0:

${ displaystyle J _ { kappa} ^ {( alpha)} (x_ {1}, x_ {2}, ldots, x_ {m}) = 0, { mbox {if}} kappa _ {m + 1}> 0.}$

Argument matice

V některých textech, zejména v teorii náhodných matic, autoři zjistili, že je vhodnější použít argument matice ve funkci Jack. Připojení je jednoduché. Li ${ displaystyle X}$ je matice s vlastními hodnotami${ displaystyle x_ {1}, x_ {2}, ldots, x_ {m}}$, pak

${ displaystyle J _ { kappa} ^ {( alpha)} (X) = J _ { kappa} ^ {( alpha)} (x_ {1}, x_ {2}, ldots, x_ {m}) .}$

Reference

• Demmel, James; Koev, Plamen (2006), „Přesné a efektivní vyhodnocení funkcí Schura a Jacka“, Matematika výpočtu, 75 (253): 223–239, CiteSeerX  10.1.1.134.5248, doi:10.1090 / S0025-5718-05-01780-1, PAN  2176397.
• Jacku, Henry (1970–1971), „Třída symetrických polynomů s parametrem“, Sborník Královské společnosti z Edinburghu, Oddíl A. Matematika, 69: 1–18, PAN  0289462.
• Knop, Friedrich; Sahi, Siddhartha (19. března 1997), „Rekurze a kombinatorický vzorec pro Jackovy polynomy“, Inventiones Mathematicae, 128 (1): 9–22, arXiv:q-alg / 9610016, Bibcode:1997InMat.128 .... 9K, doi:10,1007 / s002220050134
• Macdonald, I. G. (1995), Symetrické funkce a Hallovy polynomy, Oxford Mathematical Monographs (2. vyd.), New York: Oxford University Press, ISBN  978-0-19-853489-1, PAN  1354144
• Stanley, Richard P. (1989), "Některé kombinatorické vlastnosti Jackových symetrických funkcí", Pokroky v matematice, 77 (1): 76–115, doi:10.1016/0001-8708(89)90015-7, PAN  1014073.

externí odkazy

• Software pro výpočet funkce Jack Plamen Koev a Alan Edelman.
• MOPS: Vícerozměrné ortogonální polynomy (symbolicky) (balíček Maple)
• Dokumentace SAGE pro Jack Symmetric Functions