Věta Ionescu-Tulcea - Ionescu-Tulcea theorem - Wikipedia

V matematice teorie pravděpodobnosti, Věta Ionescu-Tulcea, někdy nazývané Věta o rozšíření Ionesco Tulcea se zabývá existencí pravděpodobnostní opatření pro pravděpodobnostní události skládající se ze spočetně nekonečného počtu jednotlivých pravděpodobnostních událostí. Může se jednat zejména o jednotlivé události nezávislý nebo na sobě navzájem závislí. Tedy prohlášení jde nad rámec pouhé existence spočetné opatření produktu. Věta byla prokázána Cassius Ionescu-Tulcea v roce 1949.^[1][2]

Výrok věty

Předpokládejme to ${ displaystyle ( Omega _ {0}, { mathcal {A}} _ {0}, P_ {0})}$ je pravděpodobnostní prostor a ${ displaystyle ( Omega _ {i}, { mathcal {A}} _ {i})}$ pro ${ displaystyle i in mathbb {N}}$ je posloupnost změřte mezery. Pro každého ${ displaystyle i in mathbb {N}}$ nechat

${ displaystyle kappa _ {i} dvojtečka ( Omega ^ {i-1}, { mathcal {A}} ^ {i-1}) to ( Omega _ {i}, { mathcal {A }} _ {i})}$

být Markovovo jádro odvozený od ${ displaystyle ( Omega ^ {i-1}, { mathcal {A}} ^ {i-1})}$ a ${ displaystyle ( Omega _ {i}, { mathcal {A}} _ {i}),}$, kde

${ displaystyle Omega ^ {i}: = prod _ {k = 0} ^ {i} Omega _ {k} { text {and}} { mathcal {A}} ^ {i}: = bigotimes _ {k = 0} ^ {i} { mathcal {A}} _ {k}.}$

Pak existuje posloupnost pravděpodobnostních opatření

${ displaystyle P_ {i}: = P_ {0} otimes bigotimes _ {k = 1} ^ {i} kappa _ {k}}$ definované v produktovém prostoru pro sekvenci ${ displaystyle ( Omega ^ {i}, { mathcal {A}} ^ {i})}$, ${ displaystyle i in mathbb {N},}$

a existuje jednoznačně definované měřítko pravděpodobnosti ${ displaystyle P}$ na ${ displaystyle left ( prod _ {k = 0} ^ { infty} Omega _ {k}, bigotimes _ {k = 0} ^ { infty} { mathcal {A}} _ {k} že jo)}$, aby

${ displaystyle P_ {i} (A) = P vlevo (A times prod _ {k = i + 1} ^ { infty} Omega _ {k} vpravo)}$

je spokojen s každým ${ displaystyle A v { mathcal {A}} ^ {i}}$ a ${ displaystyle i in mathbb {N}}$. (Měření ${ displaystyle P}$ má podmíněné pravděpodobnosti stejné jako stochastická jádra.)^[3]

Aplikace

Konstrukce použitá v důkazu věty Ionescu-Tulcea je často používána v teorii Markovovy rozhodovací procesy, a zejména teorie Markovovy řetězy.^[3]

Zdroje

• Klenke, Achim (2013). Wahrscheinlichkeitstheorie (3. vyd.). Berlin Heidelberg: Springer-Verlag. str. 292–294. doi:10.1007/978-3-642-36018-3. ISBN  978-3-642-36017-6.
• Kusolitsch, Norbert (2014). Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie: Eine Einführung (2. vyd.). Berlín; Heidelberg: Springer-Verlag. 169–171. doi:10.1007/978-3-642-45387-8. ISBN  978-3-642-45386-1.

Reference