Cena lhostejnosti - Indifference price - Wikipedia

v finance, lhostejné ceny je metoda stanovení cen finanční záruky s ohledem na a užitková funkce. The lhostejná cena je také známý jako cena rezervace nebo soukromé ocenění. Cena lhostejnosti je zejména cena, za kterou by měl agent stejnou cenu očekávaná užitečnost úroveň cvičením a finanční transakce protože tak neučiníte (při optimálním obchodování jinak). Indiferenční cenou je obvykle cenové rozpětí (a spread nabídky a poptávky ) pro konkrétního agenta; toto cenové rozpětí je příkladem dobré obchodní hranice.^[1]

Matematika

Vzhledem k užitné funkci ${ displaystyle u}$ a nárok ${ displaystyle C_ {T}}$ se známými výplatami v určitém terminálním čase ${ displaystyle T,}$ nechte funkci ${ displaystyle V: mathbb {R} krát mathbb {R} až mathbb {R}}$ být definován

${ displaystyle V (x, k) = sup _ {X_ {T} v { mathcal {A}} (x)} mathbb {E} left [u left (X_ {T} + kC_ { T} vpravo) vpravo]}$,

kde ${ displaystyle x}$ je počáteční dotace, ${ displaystyle { mathcal {A}} (x)}$ je množina všech samofinancování portfolií v čase ${ displaystyle T}$ počínaje nadáním ${ displaystyle x}$, a ${ displaystyle k}$ je číslo nároku, který má být zakoupen (nebo prodán). Pak lhostejná nabídková cena ${ displaystyle v ^ {b} (k)}$ pro ${ displaystyle k}$ jednotky ${ displaystyle C_ {T}}$ je řešením ${ displaystyle V (x-v ^ {b} (k), k) = V (x, 0)}$ a lhostejnost žádá cenu ${ displaystyle v ^ {a} (k)}$ je řešením ${ displaystyle V (x + v ^ {a} (k), - k) = V (x, 0)}$. Lhostejnou cenou je rozsah ${ displaystyle left [v ^ {b} (k), v ^ {a} (k) right]}$.^[2]

Příklad

Zvažte trh s bezrizikovým aktivem ${ displaystyle B}$ s ${ displaystyle B_ {0} = 100}$ a ${ displaystyle B_ {T} = 110}$a rizikové aktivum ${ displaystyle S}$ s ${ displaystyle S_ {0} = 100}$ a ${ displaystyle S_ {T} v {90 110 110] }}$ každý s pravděpodobností ${ displaystyle 1/3}$. Nechť je vaše užitná funkce dána ${ displaystyle u (x) = 1- exp (-x / 10)}$. Chcete-li najít nabídku nebo požadovat cenu za lhostejnost pro jednu evropskou opci s možností stávky 110, nejprve vypočítejte ${ displaystyle V (x, 0)}$.

${ displaystyle V (x, 0) = max _ { alpha B_ {0} + beta S_ {0} = x} mathbb {E} [1- exp (-. 1 krát ( alpha B_ {T} + beta S_ {T}))]}$

${ displaystyle = max _ { beta} vlevo [1 - { frac {1} {3}} vlevo [ exp left (- { frac {1,10x-20 beta} {10}} right) + exp left (- { frac {1,10x} {10}} right) + exp left (- { frac {1,10x + 20 beta} {10}} right) dobře dobře]}$.

Což je maximalizováno, když ${ displaystyle beta = 0}$, proto ${ displaystyle V (x, 0) = 1- exp left (- { frac {1.10x} {10}} right)}$.

Nyní najděte řešení ceny lhostejnosti nabídky ${ displaystyle V (x-v ^ {b} (1), 1)}$

${ displaystyle V (xv ^ {b} (1), 1) = max _ { alpha B_ {0} + beta S_ {0} = xv ^ {b} (1)} mathbb {E} [ 1- exp (-. 1 krát ( alpha B_ {T} + beta S_ {T} + C_ {T}))]}$

${ displaystyle = max _ { beta} vlevo [1 - { frac {1} {3}} vlevo [ exp left (- { frac {1,10 (xv ^ {b} (1)) -20 beta} {10}} vpravo) + exp vlevo (- { frac {1,10 (xv ^ {b} (1))} {10}} vpravo) + exp vlevo (- { frac {1.10 (xv ^ {b} (1)) + 20 beta +20} {10}} vpravo) vpravo] vpravo]}$

Což je maximalizováno, když ${ displaystyle beta = - { frac {1} {2}}}$, proto ${ displaystyle V (xv ^ {b} (1), 1) = 1 - { frac {1} {3}} exp (-1,10x / 10) exp (1,10v ^ {b} (1) / 10) left [1 + 2 exp (-1) right]}$.

Proto ${ displaystyle V (x, 0) = V (x-v ^ {b} (1), 1)}$ když ${ displaystyle v ^ {b} (1) = { frac {10} {1.1}} log left ({ frac {3} {1 + 2 exp (-1)}} right) cca 4,97}$.

Podobně vyřešit pro ${ displaystyle v ^ {a} (1)}$ najít lhostejnost, zeptejte se ceny.

Viz také

• Ochota platit
• Ochota přijmout

Poznámky

• Li ${ displaystyle left [v ^ {b} (k), v ^ {a} (k) right]}$ jsou hranice ceny lhostejnosti pro nárok poté podle definice ${ displaystyle v ^ {b} (k) = - v ^ {a} (- k)}$.^[2]
• Li ${ displaystyle v (k)}$ je lhostejná nabídková cena za pohledávku a ${ displaystyle v ^ {sup} (k), v ^ {sub} (k)}$ jsou superhedging cena ceny subhedgingu ${ displaystyle v ^ {sub} (k) leq v (k) leq v ^ {sup} (k)}$. Proto v a kompletní trh lhostejná cena se vždy rovná ceně k zajištění pohledávky.

Reference