Hypercyklický operátor - Hypercyclic operator

v matematika, zvláště funkční analýza, a hypercyklický operátor na Banachův prostor X je ohraničený lineární operátor T: X → X takový, že existuje vektor X ∈ X tak, že posloupnost {Tⁿ X: n = 0, 1, 2,…} je hustý v celém prostoru X. Jinými slovy, nejmenší uzavřená invariantní podmnožina obsahující X je celý prostor. Takový X je poté volána hypercyklický vektor. V systému není žádný hypercyklický operátor konečně-dimenzionální mezery, ale vlastnost hypercyklicity v prostorech nekonečné dimenze není vzácný jev: mnoho operátorů je hypercyklických.

Hypercyklicita je zvláštním případem širších pojmů topologická tranzitivita (vidět topologické míchání ), a univerzálnost. Univerzálnost obecně zahrnuje sadu mapování z jednoho topologický prostor do jiného (místo posloupnosti sil jednoho operátora mapujícího z X na X), ale má podobný význam jako hypercyklicita. Příklady univerzálních předmětů objevil již v roce 1914 Julius Pál, v roce 1935 Józef Marcinkiewicz, nebo MacLane v roce 1952. Avšak až v 80. letech 20. století se hypercyklické operátory začaly intenzivněji studovat.

Příklady

Příkladem hypercyklického operátoru je dvojnásobek zpětnosti operátor směny na ℓ² sekvenční prostor, to je operátor, který přebírá sekvenci

(A₁, A₂, A₃,…) ∈ ℓ²

do sekvence

(2A₂, 2A₃, 2A₄,…) ∈ ℓ².

To dokázal v roce 1969 Rolewicz.

Známé výsledky

• Na každém nekonečně dimenzionálním oddělitelný Banachův prostor je hypercyklický operátor. Na druhou stranu neexistuje žádný hypercyklický operátor v prostoru konečných rozměrů ani v neoddělitelném Banachově prostoru.
• Li X je tedy hypercyklický vektor TⁿX je také hypercyklický, takže vždy existuje hustá sada hypercyklických vektorů.
• Sada hypercyklických vektorů je navíc a připojeno G_δ množina a vždy obsahuje hustotu vektorový prostor až do {0}.
• Charles Read  (1988 ) zkonstruoval operátor na ℓ¹, takže všechny nenulové vektory jsou hypercyklické, což poskytuje protipříklad k invariantní podprostorový problém (a dokonce invariantní podmnožina problém) ve třídě Banachových prostor. Problém, zda takový operátor (někdy nazývaný hypertransitivnínebo oběžná dráha tranzitivní) existuje v oddělitelném Hilbertově prostoru, je stále otevřený (od roku 2014).

Reference

• Bayart, Fréderic; Matheron, Étienne (2009), Dynamika lineárních operátorů„Cambridge Tracts in Mathematics“, 179, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN  978-0-521-51496-5, PAN  2533318
• Beauzamy, Bernard (1988), Úvod do teorie operátorů a invariantních podprostorůMatematická knihovna v Severním Holandsku, 42, Amsterdam: Severní Holandsko, ISBN  978-0-444-70521-1, PAN  0967989
• Přečtěte si, C. J. (1988), "Invariantní podprostorový problém pro třídu Banachových prostorů, 2: hypercyklické operátory", Israel Journal of Mathematics, 63 (1): 1–40, doi:10.1007 / BF02765019, ISSN  0021-2172, PAN  0959046
• Grosse-Erdmann, Karl-Goswin (1999), „Univerzální rodiny a hypercyklické operátory“, Bulletin of the American Mathematical Society (N.S.), 36 (3): 345–381, doi:10.1090 / S0273-0979-99-00788-0, ISSN  1088-9485, PAN  1685272

Viz také

• Topologické míchání