Hopfovo lemma - Hopf lemma

v matematika, Hopfovo lemma, pojmenoval podle Eberhard Hopf, uvádí, že pokud je spojitá reálná funkce v doméně v euklidovském prostoru s dostatečně hladkou hranicí harmonická v interiéru a hodnota funkce v bodě na hranici je větší než hodnoty v blízkých bodech uvnitř domény, pak derivace funkce ve směru ven směřující normály je přísně pozitivní. Lemma je důležitým nástrojem v důkazu maximální princip a v teorii parciální diferenciální rovnice. Hopfovo lemma bylo zobecněno tak, aby popisovalo chování řešení eliptického problému, když se blíží k bodu na hranici, kde je dosaženo jeho maxima.

Prohlášení o harmonických funkcích

Nechť Ω je ohraničená doména Rⁿ s hladkou hranicí. Nechat F být funkcí se skutečnou hodnotou spojitou na uzavření Ω a harmonický na Ω. Li X je hraniční bod takový, že F(X) > F(y) pro všechny y v Ω dostatečně blízko X, pak (jednostranný) směrový derivát z F ve směru ven směřující kolmo k hranici v X je přísně pozitivní.

Důkaz pro harmonické funkce

Odečtením konstanty lze předpokládat, že F(X) = 0 a F je přísně negativní v blízkosti vnitřních bodů X. Protože hranice Ω je hladká, je v Ω malá koule, jejíž uzavření je tečna k hranici v X a protíná hranici pouze v X. Potom stačí zkontrolovat výsledek s Ω nahrazeným touto koulí. Při změně měřítka a překladu stačí zkontrolovat výsledek jednotkové koule Rⁿ, za předpokladu F(X) je nula pro nějaký jednotkový vektor X a F(y) <0 pokud |y| < 1.

Podle Harnackova nerovnost aplikováno na -F

{ displaystyle displaystyle {-f (rx) geq - {1-r nad (1 + r) ^ {n-1}} f (0),}}

pro r <1. Proto

{ displaystyle displaystyle {{f (x) -f (rx) nad 1-r} = {- f (rx) nad 1-r} geq - {1 nad (1 + r) ^ {n -1}} f (0)> - {f (0) nad 2 ^ {n-1}}> 0.}}

Proto je směrová derivace v X je omezen níže přísně pozitivní konstantou na pravé straně.

Obecná diskuse

Zvažte druhý řád, jednotně eliptický operátor formuláře

{ displaystyle Lu = a_ {ij} (x) { frac { částečné ^ {2} u} { částečné x_ {i} částečné x_ {j}}} + b_ {i} (x) { frac { částečné u} { částečné x_ {i}}} + c (x) u, qquad x v Omega.}

Tady ${ displaystyle Omega}$ je otevřená, ohraničená podmnožina ${ displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$ .

Slabý maximální princip uvádí, že řešení rovnice ${ displaystyle Lu = 0}$ v ${ displaystyle Omega}$ dosáhne maximální hodnoty na uzávěru ${ displaystyle { overline { Omega}}}$ v určitém okamžiku na hranici ${ displaystyle částečné Omega}$ . Nechat ${ displaystyle x_ {0} v částečné Omega}$ být takovým bodem, pak nutně

{ displaystyle { frac { částečné u} { částečné nu}} (x_ {0}) geq 0,}

kde ${ displaystyle částečné / částečné nu}$ označuje vnější normální derivát. To je prostě důsledek toho, že ${ displaystyle u (x)}$ musí být neklesající jako ${ displaystyle x}$ přístup ${ displaystyle x_ {0}}$ . Hopf Lemma posiluje toto pozorování tím, že to za mírných předpokladů dokazuje ${ displaystyle Omega}$ a ${ displaystyle L}$ , my máme

{ displaystyle { frac { částečné u} { částečné nu}} (x_ {0})> 0.}

Přesné prohlášení o lemmě je následující. Předpokládejme to ${ displaystyle Omega}$ je ohraničená oblast v ${ displaystyle mathbb {R} ^ {2}}$ a nechte ${ displaystyle L}$ být výše popsaným operátorem. Nechat ${ displaystyle u}$ být ve třídě ${ displaystyle C ^ {2} ( Omega) cap C ^ {1} ({ overline { Omega}})}$ a uspokojit diferenciální nerovnost

{ displaystyle Lu geq 0, qquad { textrm {in}} ~ Omega.}

Nechat ${ displaystyle x_ {0} v částečné Omega}$ být dán tak, aby ${ displaystyle 0 leq u (x_ {0}) = max _ {x in { overline { Omega}}} u (x)}$ .Kdybych) ${ displaystyle Omega}$ je ${ displaystyle C ^ {2}}$ na ${ displaystyle x_ {0}}$ a (ii) ${ displaystyle c leq 0}$ , pak buď ${ displaystyle u}$ je konstanta, nebo ${ displaystyle { frac { částečné u} { částečné nu}} (x_ {0})> 0}$ , kde ${ displaystyle nu}$ je ven směřující jednotka normální, jak je uvedeno výše.

Výše uvedený výsledek lze zobecnit v několika ohledech. Předpoklad pravidelnosti na ${ displaystyle Omega}$ lze nahradit podmínkou vnitřní koule: lemma drží za předpokladu, že existuje otevřená koule ${ displaystyle B podmnožina Omega}$ s ${ displaystyle x_ {0} v částečné B}$ . Je také možné zvážit funkce ${ displaystyle c}$ které mají kladné hodnoty za předpokladu, že ${ displaystyle u (x_ {0}) = 0}$ . Důkazy a další diskuse najdete v odkazech níže.

Viz také

Princip Hopfova maxima

Reference

Evans, Lawrence (2000), Parciální diferenciální rovnice, Americká matematická společnost, ISBN 0-8218-0772-2
Fraenkel, L. E. (2000), Úvod do maximálních principů a symetrie v eliptických problémech, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-461955
Krantz, Steven G. (2005), Teorie geometrických funkcí: Průzkumy v komplexní analýze, Springer, str. 127–128, ISBN 0817643397
Taylor, Michael E. (2011), Parciální diferenciální rovnice I. Základní teorie, Aplikované matematické vědy, 115 (2. vyd.), Springer, ISBN 9781441970541 (Hopfovo lemma Taylor označuje jako „Zarembův princip“.)