Věta o jedinečnosti Holmgrens - Holmgrens uniqueness theorem - Wikipedia

V teorii parciální diferenciální rovnice, Holmgrenova věta o jedinečnostinebo jednoduše Holmgrenova věta, pojmenovaný podle švédského matematika Erik Albert Holmgren (1873–1943), je pro lineární výsledek jedinečnosti parciální diferenciální rovnice s skutečné analytické koeficienty.^[1]

Jednoduchá forma Holmgrenovy věty

Budeme používat multi-indexová notace:Nechat ${ displaystyle alpha = { alpha _ {1}, tečky, alpha _ {n} } v mathbb {N} _ {0} ^ {n},}$ ,s ${ displaystyle mathbb {N} _ {0}}$ znamená nezáporná celá čísla; označme ${ displaystyle | alpha | = alpha _ {1} + cdots + alpha _ {n}}$ a

{ displaystyle částečné _ {x} ^ { alfa} = levé ({ frac { částečné} { částečné x_ {1}}} pravé) ^ { alfa _ {1}} cdots levé ({ frac { částečné} { částečné x_ {n}}} vpravo) ^ { alpha _ {n}}}

.

Holmgrenovu větu v její jednodušší formě lze uvést následovně:

Předpokládat, že P = ∑_|α| ≤m A_α(x) ∂^α
_X je eliptický operátor částečného diferenciálu s skutečný analytik koeficienty. Li Pu je realistický v propojeném otevřeném sousedství Ω ⊂ Rⁿ, pak u je také real-analytický.

Toto prohlášení s výrazem „analytický“ nahrazeno výrazem „hladký“ je Hermann Weyl klasické lemma na eliptická pravidelnost:^[2]

Li P je eliptický diferenciální operátor a Pu je hladký Ω, pak u je také hladký Ω.

Toto tvrzení lze prokázat pomocí Sobolevovy prostory.

Klasická forma

Nechat ${ displaystyle Omega}$ být propojeným otevřeným sousedstvím v ${ displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$ a nechte ${ displaystyle Sigma}$ být analytickým nadpovrchem v ${ displaystyle Omega}$ , takže existují dvě otevřené podmnožiny ${ displaystyle Omega _ {+}}$ a ${ displaystyle Omega _ {-}}$ v ${ displaystyle Omega}$ , neprázdný a propojený, neprotínající se ${ displaystyle Sigma}$ ani navzájem, takhle ${ displaystyle Omega = Omega _ {-} pohár Sigma pohár Omega _ {+}}$ .

Nechat ${ displaystyle P = sum _ {| alpha | leq m} A _ { alpha} (x) částečný _ {x} ^ { alpha}}$ být operátorem diferenciálu s reálnými analytickými koeficienty.

Předpokládejme, že hyperplocha ${ displaystyle Sigma}$ je ve vztahu k ${ displaystyle P}$ v každém z jeho bodů:

{ displaystyle mathop { rm {Char}} P cap N ^ {*} Sigma = emptyset}

.

Výše,

{ displaystyle mathop { rm {Char}} P = {(x, xi) podmnožina T ^ {*} mathbb {R} ^ {n} zpětné lomítko 0: sigma _ {p} (P ) (x, xi) = 0 }, { text {with}} sigma _ {p} (x, xi) = sum _ {| alpha | = m} i ^ {| alpha | } A _ { alpha} (x) xi ^ { alpha}}

the hlavní symbol z ${ displaystyle P}$ . ${ displaystyle N ^ {*} Sigma}$ je společný svazek na ${ displaystyle Sigma}$ , definováno jako ${ displaystyle N ^ {*} Sigma = {(x, xi) v T ^ {*} mathbb {R} ^ {n}: x v Sigma, , xi | _ {T_ {x} Sigma} = 0 }}$ .

Klasická formulace Holmgrenovy věty je následující:

Holmgrenova věta

Nechat ${ displaystyle u}$ být distribucí v ${ displaystyle Omega}$ takhle ${ displaystyle Pu = 0}$ v ${ displaystyle Omega}$ . Li ${ displaystyle u}$ zmizí ${ displaystyle Omega _ {-}}$ , pak zmizí v otevřeném sousedství ${ displaystyle Sigma}$ .^[3]

Vztah k Cauchy-Kowalevského teorému

Zvažte problém

{ displaystyle částečné _ {t} ^ {m} u = F (t, x, částečné _ {x} ^ { alfa} , částečné _ {t} ^ {k} u), quad alpha in mathbb {N} _ {0} ^ {n}, quad k in mathbb {N} _ {0}, quad | alpha | + k leq m, quad k leq m -1,}

s Cauchyho daty

{ displaystyle částečné _ {t} ^ {k} u | _ {t = 0} = phi _ {k} (x), qquad 0 leq k leq m-1,}

Předpokládat, že ${ displaystyle F (t, x, z)}$ je real-analytický s ohledem na všechny jeho argumenty v okolí ${ displaystyle t = 0, x = 0, z = 0}$ a to ${ displaystyle phi _ {k} (x)}$ jsou real-analytické v okolí ${ displaystyle x = 0}$ .

Teorém (Cauchy – Kowalevski)

Existuje jedinečné real-analytické řešení ${ displaystyle u (t, x)}$ v sousedství ${ displaystyle (t, x) = (0,0) in ( mathbb {R} krát mathbb {R} ^ {n})}$ .

Všimněte si, že Cauchy-Kowalevského věta nevylučuje existenci řešení, která nejsou reálná-analytická.

Na druhou stranu, v případě, kdy ${ displaystyle F (t, x, z)}$ je polynom řádu 1 v ${ displaystyle z}$ , aby

{ displaystyle částečné _ {t} ^ {m} u = F (t, x, částečné _ {x} ^ { alfa} , částečné _ {t} ^ {k} u) = součet _ { alpha in mathbb {N} _ {0} ^ {n}, 0 leq k leq m-1, | alpha | + k leq m} A _ { alpha, k} (t, x ) , částečné _ {x} ^ { alfa} , částečné _ {t} ^ {k} u,}

Holmgrenova věta uvádí, že řešení ${ displaystyle u}$ je reálný-analytický, a proto je podle Cauchy-Kowalevského věty jedinečný.

Viz také

Reference

^ Eric Holmgren, „Über Systeme von linearen partiellen Differentialgleichungen“, Öfversigt af Kongl. Vetenskaps-Academien Förhandlinger, 58 (1901), 91–103.
^ Stroock, W. (2008). „Weylovo lemma, jedno z mnoha“. Skupiny a analýza. London Math. Soc. Přednáška Ser. 354. Cambridge: Cambridge Univ. Lis. 164–173. PAN 2528466.
^ François Treves „Úvod do pseudodiferenciálních a Fourierových integrálních operátorů“, sv. 1, Plenum Press, New York, 1980.

[1] Eric Holmgren, „Über Systeme von linearen partiellen Differentialgleichungen“, Öfversigt af Kongl. Vetenskaps-Academien Förhandlinger, 58 (1901), 91–103.

[2] Stroock, W. (2008). „Weylovo lemma, jedno z mnoha“. Skupiny a analýza. London Math. Soc. Přednáška Ser. 354. Cambridge: Cambridge Univ. Lis. 164–173. PAN 2528466.

[3] François Treves „Úvod do pseudodiferenciálních a Fourierových integrálních operátorů“, sv. 1, Plenum Press, New York, 1980.

[1]

[2]

[3]