Grad – Shafranovova rovnice - Grad–Shafranov equation

The Grad – Shafranovova rovnice (H. Grad a H. Rubin (1958); Vitalii Dmitrievich Shafranov (1966)) je rovnovážná rovnice v ideálu magnetohydrodynamika (MHD) pro dvourozměrný plazma, například osově souměrná toroidní plazma v a tokamak. Tato rovnice má stejnou formu jako Hicksova rovnice z dynamiky tekutin.^[1] Tato rovnice je a dvourozměrný, nelineární, eliptická parciální diferenciální rovnice získaný redukcí ideálních MHD rovnic na dvě dimenze, často pro případ toroidní osová symetrie (případ relevantní v tokamaku). Brát ${ displaystyle (r, theta, z)}$ jako válcové souřadnice funkce toku ${ displaystyle psi}$ se řídí rovnicí,

${ displaystyle { frac { částečné ^ {2} psi} { částečné r ^ {2}}} - { frac {1} {r}} { frac { částečné psi} { částečné r }} + { frac { částečné ^ {2} psi} { částečné z ^ {2}}} = - mu _ {0} r ^ {2} { frac {dp} {d psi} } - { frac {1} {2}} { frac {dF ^ {2}} {d psi}},}$

kde ${ displaystyle mu _ {0}}$ je magnetická permeabilita, ${ displaystyle p ( psi)}$ je tlak, ${ displaystyle F ( psi) = rB _ { phi}}$ a magnetické pole a proud jsou dány vztahem

${ displaystyle { begin {aligned} { vec {B}} & = { frac {1} {r}} nabla psi times { hat {e}} _ { theta} + { frac {F} {r}} { hat {e}} _ { theta}, mu _ {0} { vec {J}} & = { frac {1} {r}} { frac {dF} {d psi}} nabla psi times { hat {e}} _ { theta} - vlevo [{ frac { částečné} { částečné r}} vlevo ({ frac {1} {r}} { frac { částečné psi} { částečné r}} pravé) + { frac {1} {r}} { frac { částečné ^ {2} psi} { částečné z ^ {2}}} doprava] { hat {e}} _ { theta}. end {zarovnáno}}}$

Povaha rovnováhy, ať už je to a tokamak, sevření obráceného pole atd. je do značné míry určeno výběrem těchto dvou funkcí ${ displaystyle F ( psi)}$ a ${ displaystyle p ( psi)}$ stejně jako okrajové podmínky.

Odvození (v souřadnicích desky)

V následujícím se předpokládá, že systém je dvourozměrný s ${ displaystyle z}$ jako invariantní osa, tj. ${ displaystyle { frac { částečné} { částečné z}} = 0}$ pro všechna množství. Pak lze magnetické pole zapsat v kartézských souřadnicích jako

${ displaystyle mathbf {B} = left ({ frac { částečné A} { částečné y}}, - { frac { částečné A} { částečné x}}, B_ {z} (x, y) right),}$

nebo kompaktněji,

${ displaystyle mathbf {B} = nabla A times { hat { mathbf {z}}} + B_ {z} { hat { mathbf {z}}},}$

kde ${ displaystyle A (x, y) { hat { mathbf {z}}}}$ je vektorový potenciál pro magnetické pole v rovině (složky x a y). Všimněte si, že na základě tohoto formuláře pro B to vidíme A je konstantní podél kterékoli dané linie magnetického pole, protože ${ displaystyle nabla A}$ je všude kolmo B. (Všimněte si také, že -A je funkce toku ${ displaystyle psi}$ zmíněno výše.)

Rovnováha tlakových sil a magnetických sil popisuje dvourozměrné, stacionární magnetické struktury, tj .:

${ displaystyle nabla p = mathbf {j} krát mathbf {B},}$

kde str je plazmatický tlak a j je elektrický proud. Je známo že str je konstanta podél libovolné siločáry (opět od roku) ${ displaystyle nabla p}$ je všude kolmo B). Navíc, dvourozměrný předpoklad (${ displaystyle { frac { částečné} { částečné z}} = 0}$) znamená, že složka z levé strany musí být nulová, takže složka z magnetické síly na pravé straně musí být také nulová. Tohle znamená tamto ${ displaystyle mathbf {j} _ { perp} krát mathbf {B} _ { perp} = 0}$, tj. ${ displaystyle mathbf {j} _ { perp}}$ je paralelní s ${ displaystyle mathbf {B} _ { perp}}$.

Pravou stranu předchozí rovnice lze uvažovat ve dvou částech:

${ displaystyle mathbf {j} times mathbf {B} = j_ {z} ({ hat { mathbf {z}}} times mathbf {B _ { perp}}) + mathbf {j_ { perp}} times { hat { mathbf {z}}} B_ {z},}$

Kde ${ displaystyle perp}$ dolní index označuje komponentu v rovině kolmé na ${ displaystyle z}$-osa. The ${ displaystyle z}$ Složku proudu ve výše uvedené rovnici lze zapsat z hlediska jednorozměrného vektorového potenciálu jako${ displaystyle j_ {z} = - { frac {1} { mu _ {0}}} nabla ^ {2} A.}$.

Pole v rovině je

${ displaystyle mathbf {B} _ { perp} = nabla A krát { hat { mathbf {z}}}}$,

a pomocí Maxwellovy-Ampérovy rovnice je proud v rovině dán vztahem

${ displaystyle mathbf {j} _ { perp} = { frac {1} { mu _ {0}}} nabla B_ {z} times { hat { mathbf {z}}}}$.

Aby byl tento vektor paralelní s ${ displaystyle mathbf {B} _ { perp}}$ podle potřeby vektor ${ displaystyle nabla B_ {z}}$ musí být kolmé na ${ displaystyle mathbf {B} _ { perp}}$, a ${ displaystyle B_ {z}}$ musí proto jako ${ displaystyle p}$, být invariantní siločarou.

Přeskupení výše uvedených křížových produktů vede k

${ displaystyle { hat { mathbf {z}}} times mathbf {B} _ { perp} = nabla A - ( mathbf { hat {z}} cdot nabla A) mathbf { hat {z}} = nabla A}$,

a

${ displaystyle mathbf {j} _ { perp} krát B_ {z} mathbf { hat {z}} = { frac {B_ {z}} { mu _ {0}}} ( mathbf { hat {z}} cdot nabla B_ {z}) mathbf { hat {z}} - { frac {1} { mu _ {0}}} B_ {z} nabla B_ {z } = - { frac {1} { mu _ {0}}} B_ {z} nabla B_ {z}.}$

Tyto výsledky lze nahradit výrazem pro ${ displaystyle nabla p}$ výtěžek:

${ displaystyle nabla p = - left [{ frac {1} { mu _ {0}}} nabla ^ {2} A right] nabla A - { frac {1} { mu _ {0}}} B_ {z} nabla B_ {z}.}$

Od té doby ${ displaystyle p}$ a ${ displaystyle B_ {z}}$ jsou konstanty podél polní čáry a fungují pouze z ${ displaystyle A}$, proto ${ displaystyle nabla p = { frac {dp} {dA}} nabla A}$ a ${ displaystyle nabla B_ {z} = { frac {dB_ {z}} {dA}} nabla A}$. Tedy vyřazení ${ displaystyle nabla A}$ a přeskupení podmínek přináší Grad – Shafranovova rovnice:

${ displaystyle nabla ^ {2} A = - mu _ {0} { frac {d} {dA}} vlevo (p + { frac {B_ {z} ^ {2}} {2 mu _ {0}}} vpravo).}$

Reference

• Grad, H. a Rubin, H. (1958) Hydromagnetické rovnováhy a pole bez síly. Sborník 2. konf. OSN o mírovém využití atomové energie, sv. 31, Ženeva: IAEA str. 190.
• Shafranov, V.D. (1966) Plazmová rovnováha v magnetickém poli, Recenze fyziky plazmatu, Sv. 2, New York: Consultants Bureau, s. 2. 103.
• Woods, Leslie C. (2004) Fyzika plazmatu„Weinheim: WILEY-VCH Verlag GmbH & Co. KGaA, kapitola 2.5.4
• Haverkort, J.W. (2009) Axisymmetric Ideal MHD Tokamak Equilibria. Poznámky k Grad – Shafranovově rovnici, vybraným aspektům rovnice a jejím analytickým řešením.
• Haverkort, J.W. (2009) Axisymmetric Ideal MHD equilibria with Toroidal Flow. Začlenění toroidního toku, vztah ke kinetickým a dvoukapalinovým modelům a diskuse o konkrétních analytických řešeních.