Gossetův graf - Gosset graph
| Gossetův graf | |
|---|---|
 Gossetův graf (321) (K dispozici jsou 3 prstence s 18 vrcholy a dva vrcholy se shodují ve středu této projekce. Hrany se také shodují s touto projekcí.) | |
| Pojmenoval podle | Thorold Gosset |
| Vrcholy | 56 |
| Hrany | 756 |
| Poloměr | 3 |
| Průměr | 3 |
| Obvod | 3 |
| Automorfismy | 2903040 |
| Vlastnosti | Vzdálenost-pravidelný graf Integrální Vrchol-tranzitivní |
| Tabulka grafů a parametrů | |
The Gossetův graf, pojmenoval podle Thorold Gosset, je konkrétní pravidelný graf (1-kostra sedmidimenzionálního 321 polytop ) s 56 vrcholy a valencí 27.[1]
Konstrukce
Gossetův graf lze explicitně zkonstruovat následovně: 56 vrcholů je vektorem R8, získané permutací souřadnic a případně převzetím opačného vektoru (3, 3, −1, −1, −1, −1, −1, −1). Dva takové vektory sousedí, když je jejich vnitřní součin 8.
Alternativní konstrukce je založena na 8-vrcholu kompletní graf K.8. Vrcholy grafu Gosset lze identifikovat pomocí dvou kopií sady okrajů K.8Dva vrcholy grafu Gosset, které pocházejí ze stejné kopie, sousedí, pokud odpovídají nesouvislým hranám K.8; dva vrcholy, které pocházejí z různých kopií, sousedí, pokud odpovídají hranám, které sdílejí jeden vrchol.[2]
Vlastnosti
Ve vektorovém znázornění Gossetova grafu jsou dva vrcholy ve vzdálenosti dva, když je jejich vnitřní součin −8, a ve vzdálenosti tři, když je jejich vnitřní součin −24 (což je možné pouze v případě, že jsou si navzájem protější). V zobrazení založeném na okrajích K.8, dva vrcholy grafu Gosset jsou ve vzdálenosti tři právě tehdy, pokud odpovídají různým kopiím stejné hrany K.8Graf Gosset je vzdálenost-pravidelná o průměru tři.[3]
The indukovaný podgraf sousedství jakéhokoli vrcholu v grafu Gosset je izomorfní s Schläfliho graf.[3]
The skupina automorfismu Gossetova grafu je isomorfní s Skupina coxeterů E7 a proto má objednávku 2903040. Gosset 321 polytop je a semiregular polytop. Proto skupina automorfismu Gossetova grafu, E7, jedná přechodně na jeho vrcholech, což z něj dělá a vrchol-tranzitivní graf.
The charakteristický polynom grafu Gosset je[4]
Proto je tento graf integrální graf.
Reference
- ^ Grishukhin, V. P. (2011), „Polytopy Delone a Voronoĭ kořenové mřížky E7 a dvojitá mříž E7*", Trudy Matematicheskogo Instituta Imeni V. A. Skeklova (Klassicheskaya i Sovremennaya Matematika v Pole Deyatelnosti Borisa Nikolaevicha Delone), 275: 68–86, doi:10.1134 / S0081543811080049, PAN 2962971, S2CID 120405049.
- ^ Haemers, Willem H. (1996), "Pravidelnost vzdálenosti a spektrum grafů", Lineární algebra a její aplikace, 236: 265–278, doi:10.1016/0024-3795(94)00166-9, PAN 1375618.
- ^ A b Kabanov, V. V .; Makhnev, A. A .; Paduchikh, D. V. (2007), „Charakterizace některých pravidelných grafů vzdálenosti zakázanými podgrafy“, Doklady Akademii Nauk, 414 (5): 583–586, doi:10.1134 / S1064562407030234, PAN 2451915, S2CID 119529234.
- ^ Brouwer, A.E .; Riebeek, R. J. (1998), „Spektra Coxeterových grafů“, Journal of Algebraic Combinatorics, 8 (1): 15–28, doi:10.1023 / A: 1008670825910, PAN 1635551.