Gossardův průzor - Gossard perspector
v geometrie the Gossardův průzor[1] (nazývané také Zeeman – Gossardův hledáček[2]) je speciální bod spojený s a letadlo trojúhelník. Je to střed trojúhelníku a je označen jako X (402) v Clark Kimberling je Encyclopedia of Triangle Centers. Bod byl pojmenován Gossardův průzor podle John Conway v roce 1998 na počest Harry Clinton Gossard který objevil její existenci v roce 1916. Později se zjistilo, že tento bod se objevil v článku Christophera Zeemana publikovaném v letech 1899 - 1902. Od roku 2003 Encyclopedia of Triangle Centers označuje tento bod jako Zeeman – Gossardův hledáček.[2]
Definice
Gossardův trojúhelník
Nechat ABC být libovolný trojúhelník. Nech Eulerova linie trojúhelníku ABC splnit vedlejší před naším letopočtem, CA a AB trojúhelníku ABC na D, E a F resp. Nechat AGBGCG být trojúhelník tvořený Eulerovými čarami trojúhelníků AEF, BFD a CDE, vrchol AG je průsečíkem Eulerových čar trojúhelníků BFD a CDE, a podobně pro další dva vrcholy. Trojúhelník AGBGCG se nazývá Gossardův trojúhelník trojúhelníku ABC.[3]
Gossardův průzor
Nechat ABC být libovolný trojúhelník a nechat AGBGCG být jeho Gossardovým trojúhelníkem. Pak řádky AAG, BBG a CCG jsou souběžné. Bod souběhu se nazývá Gossardův průzor trojúhelníku ABC.
Vlastnosti
- Nechat AGBGCG být Gossardův trojúhelník trojúhelníku ABC. Čáry BGCG, CGAG a AGBG jsou rovnoběžné s přímkami před naším letopočtem, CA a AB.[4]
- Libovolný trojúhelník a jeho Gossardův trojúhelník jsou shodné.
- Libovolný trojúhelník a jeho Gossardův trojúhelník mají stejnou Eulerovu čáru.
- Gossardův trojúhelník trojúhelníku ABC je odrazem trojúhelníku ABC v Gossardově perspektivě.
Trilineární souřadnice
The trilineární souřadnice Gossardova úhlu pohledu trojúhelníku ABC jsou
- ( F ( A, b, C ) : F ( b, C, A ) : F ( C, A, b ) )
kde
- F ( A, b, C ) = p ( A, b, C ) y ( A, b, C ) / A
kde
- p ( A, b, C ) = 2A4 − A2b2 − A2C2 − ( b2 − C2 )2
a
- y ( A, b, C ) = A8 − A6 ( b2 + C2 ) + A4 ( 2b2 − C2 ) ( 2C2 − b2 ) + ( b2 − C2 )2 [ 3A2 ( b2 + C2 ) − b4 − C4 − 3b2C2 ]
Zobecnění
Konstrukce poskytující Gossardův trojúhelník trojúhelníku ABC lze zobecnit na výrobu trojúhelníků A'B'C ' které jsou shodné s trojúhelníkem ABC a jejichž okraje jsou rovnoběžné s okraji trojúhelníku ABC.
Zobecnění 1
Za tímto výsledkem stojí Christopher Zeeman.[4]
Nechat l být libovolná přímka rovnoběžná s Eulerova linie trojúhelníku ABC. Nechat l protínají vedlejší kolej před naším letopočtem, CA, AB trojúhelníku ABC na X, Y, Z resp. Nechat A'B'C ' být trojúhelník tvořený Eulerovými čarami trojúhelníků AYZ, BZX a CXY. Pak trojúhelník A'B'C ' je shodný s trojúhelníkem ABC a jeho okraje jsou rovnoběžné s okraji trojúhelníku ABC.[4]
Zevšeobecnění 2
Toto zobecnění je způsobeno Paulem Yiu.[1][5]
Nechat P být libovolný bod v rovině trojúhelníku ABC odlišné od jeho těžiště G.
- Nechte linku PG splnit postranní čáry před naším letopočtem, CA a AB na X, Y a Z resp.
- Nechte centroidy trojúhelníků AYZ, BZX a CXY být GA, Gb a GC resp.
- Nechat PA být takovým bodem YPA je paralelní s CP a ZPA je paralelní s BP.
- Nechat Pb být takovým bodem ZPb je paralelní s AP a XPb je paralelní s CP.
- Nechat PC být takovým bodem XPC je paralelní s BP a YPC je paralelní s AP.
- Nechat A'B'C ' být trojúhelník tvořený čarami GAPA, GbPb a GCPC.
Pak trojúhelník A'B'C ' je shodný s trojúhelníkem ABC a jeho strany jsou rovnoběžné se stranami trojúhelníku ABC.
Když P se shoduje s orthocentrem H trojúhelníku ABC pak linka PG se shoduje s Eulerovou linií trojúhelníku ABC. Trojúhelník A'B'C ' se shoduje s Gossardovým trojúhelníkem AGBGCG trojúhelníku ABC.
Zobecnění 3
Nechat ABC být trojúhelník. Nechat H a Ó být dva body a nechat čáru HO splňuje BC, CA, AB na A0, B0, C.0 resp. Nechat AH a A.Ó být dva takové body C0AH paralela k BH, B0AH paralela k CH a C0AÓ paralela k BO, B0AÓ paralela k CO. Definovat BH, BÓ, C.H, C.Ó cyklicky. Pak trojúhelník tvořený čarami AHAÓ, BHBÓ, C.HCÓ a trojúhelník ABC jsou homotetické a shodné a homotetický střed leží na linii ACH. [6] Li ACH je libovolná čára procházející těžištěm trojúhelníku ABC, tímto problémem je Yiuova generalizace Gossardovy věty o perspektivě.[6]
Reference
- ^ A b Kimberling, Clark. "Gossard Perspector". Archivovány od originál dne 10. května 2012. Citováno 17. června 2012.
- ^ A b Kimberling, Clark. „X (402) = Zeemann - Gossardův prospektor“. Encyclopedia of Triangle Centers. Archivovány od originál dne 19. dubna 2012. Citováno 17. června 2012.
- ^ Kimberling, Clark. „Harry Clinton Gossard“. Archivovány od originál dne 22. května 2013. Citováno 17. června 2012.
- ^ A b C Hatzipolakis, Antreas P. „Zpráva Hyacinthos # 7564“. Citováno 17. června 2012.
- ^ Grinberg, Darij. „Zpráva Hyacithos # 9666“. Citováno 18. června 2012.
- ^ A b Dao Thanh Oai, Zevšeobecnění věty o Zeemanově-Gossardově perspektivě, International Journal of Computer Discovered Mathematics, Vol.1, (2016), číslo 3, strana 76-79, ISSN 2367-7775